http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesbajoguadalquivir/mat/cuartob/mates4esob.htm
http://www.amolasmates.es/cuarto_eso/temas4eso.html
http://www.iesprincipe.com/mates/ejer4beso.htm
viernes, 21 de enero de 2011
domingo, 3 de octubre de 2010
La conjetura de Perelman: El genio, el hombre, el enigma
Es uno de los grandes cerebros del siglo XXI. Ha revolucionado las matemáticas, abierto nuevos campos de investigación, resuelto la conjetura de Poincaré, recibido y rechazado los más altos galardones mundiales, incluido uno de un millón de dólares. Pero Grigori Perelman prefiere vivir aislado y pobre en un destartalado apartamento de San Petersburgo. ¿Por qué? ¿Qué se esconde detrás de este ser taciturno y egocéntrico, de este antiguo niño prodigio educado en los más avanzados laboratorios de la inteligencia soviéticos? Esta es la historia de Grisha, el genio.Cabello despeinado, barba hirsuta, uñas largas, mirada reconcentrada, a veces perdida, ropa vieja. Quien se tope con este personaje en la calle -cosa difícil, porque casi no sale ya de su apartamento, salvo a comprar alimentos a la tienda más cercana- seguramente lo tomará por un simple vagabundo, un bombzh. A nadie se le pasaría por la mente que ese hombre desaliñado es un genio, el mayor matemático de los últimos tiempos, que encaja en el paradigma del científico chiflado. La gente considera que efectivamente ha perdido la razón, pero no por su dudosa higiene y aspecto, sino, ante todo, por haber rechazado el millón de dólares de recompensa que le otorgó el Instituto Clay de Matemáticas (Massachusetts, EE UU) por haber resuelto la conjetura de Poincaré -uno de los siete problemas del milenio-, y se negó a recibirlo a pesar de vivir con su madre en precarias condiciones.
Rechazó un millón de dólares del Instituto Clay de Matemáticas por haber resuelto la conjetura de Poincaré. En 1996 dejó de contestar a los correos electrónicos de sus colegas y desistió de discutir con otros sus proyectos. Para solucionar los problemas no escribía nada previo, no hacía cálculos en el papel, todo lo realizaba en su cabeza. "Lo que lo desconcertó no fue que el mundo fuera imperfecto, sino que el mundo de los matemáticos lo sea." "Para Grisha fue como un secuestro cuando intentaron apropiarse del resultado de su trabajo", dice su maestro Rukshín. En las olimpiadas de matemáticas de Budapest obtuvo un brillante resultado: resolvió 42 problemas sobre 42.
"No contestaré a ninguna pregunta", dice a EL PAÍS muy tranquilo, con voz cristalina, casi de niño, sin el menor atisbo de alteración. Su voz transmite cortesía y el tono es más que amable. Pero esta calma desaparece cuando tratan de ofrecerle dinero, a él o a su madre, a la que arranca el teléfono de las manos, y entonces puede gritar y mostrarse grosero, incluso con gente que le ha ayudado en su carrera. Perelman recibe esas muestras de solidaridad o de preocupación como un insulto. Grisha Perelman -su nombre es Grigori, pero él siempre ha firmado con su diminutivo ruso-, que de niño fue entrenado para ganar y recibir premios, a partir de cierto momento los rechazó todos. ¿Qué hizo que empezara a negarse a aceptar distinciones, a los ojos de todo el mundo merecidas, y comenzara a cortar relaciones y a encerrarse en sí mismo?
Un aficionado al ajedrez probablemente asociaría el caso de Perelman con el de Bobby Fischer, y quizá no anduviera muy errado: muchos especialistas consideran que ambos genios desarrollaron el mismo mal, una especie de autismo conocido como el síndrome de Aspergen. Opinión con la que, por cierto, su primer maestro está en total desacuerdo.
Antes del millón de dólares, Grisha había rechazado un premio de la Sociedad Matemática Europea y luego hizo lo mismo con la medalla Fields, llamada frecuentemente el Nobel de las Matemáticas, que debería haber recibido en Madrid en 2006, durante el Congreso Internacional.
Al comienzo, nada indicaba que su carrera iba a llegar a las más altas cimas y que -después de que el destino hubiera permitido que triunfara en la ciencia a pesar de los numerosos escollos que un judío como él encontraba en su camino en la antisemita Unión Soviética- terminaría en tragedia -para el mundo científico, al menos-, en el abandono de las matemáticas y en el encierro en sí mismo. Encierro que es prácticamente total, pues Grisha ya no se comunica con nadie, a excepción de su madre; se niega a conceder entrevistas, no responde si a uno se le ocurre ir a verlo y tocar a la puerta de su apartamento, e incluso ha roto todos los vínculos con la mayoría de sus antiguos colegas y maestros.
Grisha se refugia del mundo en Kúpchino, un barrio en el sur de San Petersburgo donde el metro muere. Construido en los años sesenta del siglo pasado, Kúpchino es un típico suburbio dormitorio. La gente que vive cerca de la casa de Perelman -un edificio tipo de nueve plantas-, los que trabajan en las tiendas adonde suele ir, ahora le reconocen. Muchos cuando lo ven sacan sus móviles, con los que le hacen fotos; pero la mayoría se comporta como Grisha quiere: lo dejan en paz.
Perelman se inició en el campo de las matemáticas muy temprano, siendo un niño, como se acostumbraba en la época soviética. Su madre, Lubov, era una talentosa matemática a la que su maestro incluso llegó a ofrecer un puesto en el Instituto Herzen, donde él mismo enseñaba. Esto era un honor, ya que su nombramiento iba a ser difícil por dos razones: primero, porque era mujer -es decir, potencialmente madre, con lo que su consagración a la ciencia resultaba incierta-, y segundo, porque era judía.
Pero Lubov desechó entonces el ofrecimiento por la sencilla razón de que se acababa de casar y quería crear una familia. Pasó más de una década antes de que Lubov volviera a ver a su maestro. Se toparon en la calle y ella le contó que tenía un hijo, Grisha, que mostraba dotes para las matemáticas, como lo probaba su reciente participación exitosa en un concurso del barrio donde vivían, en los suburbios de Leningrado, hoy San Petersburgo. Y le preguntó qué podía hacer para desarrollar ese talento.
Garold Natanson, que así se llamaba el maestro de Lubov, llamó entonces a Serguéi Rukshín, según cuenta él mismo a EL PAÍS, entonces un joven matemático con un don especial para preparar a niños. El resultado de esa conversación fue que Grisha ingresó en 1976 -recién cumplidos los 10 años- en el círculo de matemáticas que funcionaba en el Palacio de Pioneros de Leningrado.
Estos centros de élite, repartidos por la URSS, eran como grandes clubes donde funcionaban numerosos círculos para niños: de matemáticas, de ajedrez, de deportes, de música... Grisha, de hecho, llegó al Palacio de Pioneros de Leningrado sabiendo ya tocar el violín, instrumento que también había estudiado su madre, que era profesora de matemáticas en una escuela.
Como recuerda Rukshín, que en esa época tenía solo 19 años, Grisha acababa de cumplir los 10 años y no era el benjamín del círculo, ni tampoco el más brillante ni el mejor en las competiciones. Y no lo fue hasta varios años después. Era bueno, talentoso, y a diferencia de la mayoría de sus compañeros, se mostraba tranquilo, callado.
Incluso para solucionar los problemas era introvertido; prácticamente no escribía nada previo, no hacía cálculos en el papel, todo lo analizaba mentalmente hasta que obtenía la solución, que pasaba entonces a la hoja que tenía delante.
Había signos que indicaban que la solución estaba próxima: podía tirar una pelota de pimpón contra la pizarra, caminar de allá para acá, marcar un ritmo con un lapicero en el pupitre, restregaba sus muslos -los pantalones que usaba llevaban la marca de esa costumbre- y luego se frotaba las manos, además de emitir ruidos parecidos a quejas o zumbidos, que eran, en realidad, tarareos de alguna pieza musical, como Introducción y rondó caprichoso de Camille Saint-Saëns.
Al principio, Grisha no era el mejor. Pronto llegó a serlo y se convirtió en el alumno preferido de Rukshín. Éste siempre ha defendido que los niños deben concentrarse en aquello que mejor les resulta. Esta posición, dice sonriendo, ha resultado beneficiosa tanto para el ajedrez ruso como para el español. Así, aconsejó a Alexandr Jalifman, el futuro campeón mundial de ajedrez, que se consagrara al juego-ciencia y no a las matemáticas; lo mismo hizo con Valeri Sálov -el gran maestro ruso que en 1992 se mudó a España-, a quien prácticamente expulsó de su círculo matemático.
Probablemente esta concepción de Rukshín hizo que Grisha abandonara sus clases de violín para entregarse por completo a las matemáticas. Su maestro insiste en que no le obligó a dejar la música; al contrario, lo introdujo en la música vocal, a la que Perelman no estaba acostumbrado.
El que dejara de tocar el violín no significa que Grisha renunciara a la música. La verdad es que incluso hoy es una de sus pocas aficiones; le gusta la ópera, y hasta hace poco solía comprar las entradas más baratas en el gallinero del Teatro Mariínski (ex Kírov). También se le puede ver a veces en los conciertos de jóvenes cantores.
Rukshín no solo fue el descubridor de Perelman, sino su primer maestro, el que lo formó y fue su primer tutor científico. Entre ambos se creó una relación especial. Al acercamiento con Grisha contribuyó probablemente el que después de las clases en el Palacio de Pioneros, dos veces por semana, hacían juntos el trayecto en el metro hasta la última estación, Kúpchino, el barrio de Perelman. Rukshín tenía que tomar allí un tren de cercanías hasta su casa, que en ese tiempo estaba en la ciudad de Pushkin.
A los 14 años, Rukshín comenzó a darle clases intensivas de inglés, para que Grisha pudiera entrar en el colegio especializado en física y matemáticas, la famosa Escuela Número 239 de Leningrado. El inglés era el idioma extranjero que estudiaban allí, mientras que en su escuela Grisha había aprendido francés. Al final de las vacaciones, Rukshín había logrado lo imposible: que Grisha estuviera al nivel requerido, o sea, había hecho en menos de tres meses lo que los otros niños habían conseguido en cuatro años.
Grisha ingresó junto con sus compañeros del club en la famosa escuela. Se trataba de la primera vez que, en lugar de dispersar a los miembros del círculo de Rukshín en diferentes clases, los pusieron a todos en una. Así comenzaba otro experimento ideado por Rukshín -no separar a los niños superdotados-, aunque entonces ellos formaran solo la mitad del curso; hoy ya hay clases que funcionan exclusivamente con chicos especialmente talentosos para la ciencia.
El elegido como profesor jefe en la clase de estos superdotados fue Valeri Rízhik, un pedagogo innato, según asegura Masha Gessen en su libro Perfect rigor: A genius and The mathematical breakthrough of the century, dedicado a Perelman.
La idea de Rukshín de no separar a los pequeños genios generó polémica, pero finalmente se impuso; el mismo Rukshín seguiría preparándolos en el club particularmente para las olimpiadas de matemáticas. Rízhik recuerda que Perelman se sentaba al fondo de la clase, nunca hablaba, salvo cuando veía un error en las demostraciones que los niños hacían en la pizarra; entonces levantaba apenas la mano y corregía. Era un chico que se tomaba las reglas al pie de la letra, y por eso nunca se distraía.
Rízhik solía llevar los domingos a los niños de su clase a caminar por el campo o por el bosque, y en las vacaciones, a largas excursiones a otras regiones de Rusia. Grisha nunca fue a ninguna, ni asistió a los Martes Literarios que organizaba su profesor. La opinión de Gessen de que Rízhik desempeñó un importante papel como pedagogo no es compartida por Rukshín, que otorga más méritos a Nikolái Kuksa, ex oficial de submarino que protegió a Grisha durante sus estudios en la Escuela Número 239.
A pesar de sus excentricidades y de su dificultad para comunicarse con otros, Perelman siguió su carrera matemática con relativa normalidad, sobre todo gracias a las personas que, viendo su talento, lo protegieron y consiguieron que fuera admitido en la discriminatoria Facultad de Matemáticas de la Universidad de Leningrado, que solo aceptaba a dos judíos al año. La táctica seguida para ello fue conseguir que Perelman formara parte del equipo olímpico ruso de matemáticas, ya que sus miembros ingresaban automáticamente en la Universidad que eligieran. Grisha no solo lo consiguió, sino que logró un extraordinario resultado en las Olimpiadas de Budapest: 42 problemas resueltos de un total de 42.
Perelman vivía en su propio mundo, ignorando la realidad del mundo exterior, que creía que era justo y que funcionaba como debía, siguiendo reglas claras. Nunca se interesó por la política, tampoco por las chicas, ni se enteró de que la sociedad soviética era antisemita. Su madre, sus profesores y entrenadores se preocuparon de protegerle de esa realidad exterior, de solucionar sus problemas y de garantizar que pudiera dedicarse exclusivamente al mundo de las matemáticas. Fue gracias a ellos -Rukshín, Kuksa, Rízhik, Alexandr Abrámov en el colegio y las competiciones; Víktor Zalgaller, Alexandr Alexándrov y Yuri Burago después- como Perelman pudo terminar la facultad, obtener su doctorado, ganar becas en el extranjero, dar charlas y enseñar.
A los 29 años, estando en EE UU, la Universidad de Princeton mostró interés por contratarlo como profesor asistente, pero él se negó a presentar un currículo; dijo que si lo querían, que le dieran un puesto de profesor titular. No lo hicieron y lo lamentarían.
Perelman fue a Princeton a principios de 1995 a dar una conferencia sobre su prueba de la Conjetura del alma (Soul conjecture) y para entonces se había convertido ya en el mejor geómetra del mundo. ¿Por qué esas exigencias, para qué querían un currículo suyo si habían asistido a sus conferencias? Encontraba absurdo que le pidieran datos sobre su persona. Tampoco aceptó una propuesta para ser profesor titular en Tel Aviv.
De vuelta a San Petersburgo ese mismo año, terminado su Miller Fellowship en Berkeley, Perelman regresó a casa con su madre y al laboratorio de Burago.
Grisha parece haber desarrollado una especie de alergia a los premios a mediados de los noventa. En 1996, la Sociedad Matemática Europea celebró su segundo congreso cuatrienal en Budapest, en el que instituyó premios para matemáticos menores de 32 años. Burago, Anatoli Vérshik, entonces presidente de la Sociedad Matemática de San Petersburgo, y Mijaíl Grómov, el introductor de Perelman en Occidente, presentaron a Grisha, cuya candidatura salió victoriosa. Pero éste, al enterarse, dijo que no quería el premio y que no lo aceptaría; incluso amenazó con montar un escándalo si anunciaban que él era el ganador.
Extraña actitud en una persona que había sido entrenada para ganar olimpiadas, y por tanto, premios. Nunca en su época de competidor había dado indicios de oponerse a los galardones. Más aún, sus fracasos -dos seguidos- fueron los que, según Rukshín, hicieron que Perelman se pusiera las pilas y trabajara duro para triunfar y convertirse en un auténtico científico.
Además, ya como matemático puro y duro, recibió a principios de los años noventa un premio que le otorgó la Sociedad de Matemáticas, que aceptó gustoso.
Todo apunta a que empezó a irritarle la idea de que otra persona pudiera juzgar su trabajo, cuando él se consideraba ya el mejor del mundo. Además vivía bajo una enorme autoexigencia, que le llevaba a considerar que no era merecedor del premio en cuestión, entre otros motivos, porque no había completado su trabajo todavía.
Esta conciencia de su superioridad unida a su rigidez moral -modelada en torno a la figura ideal de Alexándrov, con la exigencia de decir siempre la verdad y solo la verdad- es lo que, según quienes le conocieron, le lleva a rechazar ese premio y otros posteriores.
Paralelamente comienza a autoaislarse de la comunidad científica, aunque participa en actividades matemáticas con niños. Pero en 1996 deja de contestar a los correos electrónicos de sus colegas norteamericanos y prescinde de discutir sus proyectos. A partir de ese momento, nadie sabía en qué estaba trabajando Perelman, aunque seguramente fue cuando comenzó su asalto a la conjetura de Poincaré.
Que Grisha no había desaparecido del todo quedó claro cuatro años más tarde, cuando el matemático norteamericano Mike Anderson recibió un correo electrónico en el que el genio ruso le planteaba algunas dudas sobre un trabajo que este acababa de publicar.
Dos años y medio después se confirmó que Grisha no era de esos talentos prometedores que de pronto se paran y quedan empantanados. El 2 de noviembre de 2002, Anderson recibió, al mismo tiempo que un puñado de matemáticos, otro correo de Perelman en el que informaba de que había colgado un nuevo trabajo en Internet.
De hecho, se trataba de la demostración de la conjetura de Geometrización y de la de Poincaré, aunque él no lo especificaba. Anderson leyó el trabajo, comprendió su importancia e invitó a Perelman a EE UU, cosa que, para su sorpresa, éste aceptó. Al mismo tiempo, envió correos a otros matemáticos llamándoles la atención sobre lo que Grisha había publicado en la Red.
Un año más tarde, el 10 de marzo de 2003, Perelman colgó una segunda parte de su trabajo, mientras hacía los trámites para el visado que le permitiera viajar de nuevo a EE UU. En Norteamérica, Perelman dio magníficas conferencias y comentó a un colega que creía que pasaría un año y medio o dos antes de que se comprendiera la demostración expuesta en su trabajo.
Al mismo tiempo, comenzaron los problemas. The New York Times publicó dos artículos en los que escribía que Perelman había asegurado que había probado la conjetura de Poincaré e insinuaban que lo había hecho para ganar el millón de dólares de recompensa anunciado por el Instituto Clay. Para Grisha, esto, además de ser completamente falso, era un insulto. La verdad es que había empezado a trabajar en Poincaré mucho antes de que el Clay seleccionara los siete problemas del milenio y nunca había tenido especial interés por el dinero.
Perelman rechazó las numerosas ofertas que le hicieron para quedarse en EE UU y regresó a San Petersburgo en abril de 2004. El 17 de julio colgó la tercera y última parte de su trabajo. Si la primera era de 30 páginas y la segunda de 22, esta tenía apenas siete.
Paradójicamente, el hecho de que Grisha colgara su prueba en Internet y se negara a publicarla en una revista especializada -como era la costumbre y una de las condiciones del Clay para dar el millón de dólares- impulsó una amplia discusión sobre su trabajo, abierta y pública, que se desarrolló en seminarios y conferencias especiales.
Algunos matemáticos acometieron la tarea de explicar los trabajos de Perelman y su demostración de las conjeturas de Poincaré y Geometrización, pero también hubo otros que trataron de robarle los laureles y se autoproclamaron como los verdaderos artífices de la solución. Al final tuvieron que dar marcha atrás y reconocer el mérito a Grisha, pero todo esto, así como la demora del Instituto Clay en reconocer la prueba, unida a la indiferencia de sus colegas rusos -que no salieron en su defensa cuando trataron de robarle su logro- debieron abrir una herida profunda en Grisha.
La desilusión en el mundo de los matemáticos, que él creía perfecto y puro, fue creciendo a su regreso de EE UU, al tiempo que aumentó su autoaislamiento. Hasta que en diciembre de 2005 renunció al puesto en el Instituto Steklov, donde trabajaba. Cuando lo hizo, anunció que abandonaba las matemáticas.
Al año siguiente, Perelman recibió un correo electrónico del comité encargado del programa del congreso mundial en el que deberían entregarle la Medalla Fields, invitándole a dar una conferencia con motivo de esta entrega. Pero ni siquiera respondió. Y cuando el director del Steklov habló con Grisha, este le dijo que no había contestado porque los nombres de los miembros del comité eran secretos y él no participaba en conspiraciones.
Si puede haber cierta lógica en el rechazo al premio de la Sociedad Europea -no consideraba completado su trabajo- y en el de la Medalla Fields, que es un estímulo a los ma-, es más difícil comprender su renuncia al millón de dólares del Instituto Clay, que se entrega por solucionar un problema determinado.
Rukshín sostiene que el rechazo al dinero se debió principalmente a la profunda desilusión que sufrió al ver la injusticia de la comunidad matemática y lo que él consideraba deshonestidad, como se lo explicó a John Ball, presidente de la Unión Internacional de Matemáticas, cuando renunció a la Medalla Fields.
Lo que lo desconcertó, lo perturbó, según su maestro, no fue que el mundo fuera imperfecto, sino que el mundo de los matemáticos lo fuera también. Precisamente el mundo que se ocupa de la ciencia más exacta, donde algo o es verdad o es mentira, y donde no hay posición intermedia entre uno y otro extremo, entre correcto o incorrecto. Grisha, según sus allegados, creía que en este universo había un espacio perfecto, el altar de la matemática; él se consagró precisamente a ello y se inventó un paraíso. Y eso también falló. En esto consiste la catástrofe, y aquí, afirma Rukshín, está también la diferencia con Bobby Fischer, que no podía comunicarse con el mundo. Perelman puede: todos sus vecinos atestiguan que se comporta normalmente con ellos, que es sociable y gentil.
Rukshín explica así los sentimientos que llevaron a Grisha a renunciar al millón: "Para comprender a Perelman, imagínese que el teorema es como su hijo, que en la infancia pasó por una enfermedad grave, durante la cual no sabía si sobreviviría o no. Mientras no has demostrado el teorema, mientras continúa siendo una conjetura, es como tu hijo enfermo. Y Grisha estuvo junto a la cabecera de ese hijo nueve o 10 años, luchando por su vida y cuidándolo día y noche. Por fin, el niño sanó, creció, es fuerte y hermoso; pero te lo quieren robar y te lo secuestran. Para Grisha fue como un secuestro cuando trataron de apropiarse del resultado de su trabajo. No pudo aceptar que un teorema pudiera ser comprado, vendido o robado".
"No contestaré a ninguna pregunta", dice a EL PAÍS muy tranquilo, con voz cristalina, casi de niño, sin el menor atisbo de alteración. Su voz transmite cortesía y el tono es más que amable. Pero esta calma desaparece cuando tratan de ofrecerle dinero, a él o a su madre, a la que arranca el teléfono de las manos, y entonces puede gritar y mostrarse grosero, incluso con gente que le ha ayudado en su carrera. Perelman recibe esas muestras de solidaridad o de preocupación como un insulto. Grisha Perelman -su nombre es Grigori, pero él siempre ha firmado con su diminutivo ruso-, que de niño fue entrenado para ganar y recibir premios, a partir de cierto momento los rechazó todos. ¿Qué hizo que empezara a negarse a aceptar distinciones, a los ojos de todo el mundo merecidas, y comenzara a cortar relaciones y a encerrarse en sí mismo?
Un aficionado al ajedrez probablemente asociaría el caso de Perelman con el de Bobby Fischer, y quizá no anduviera muy errado: muchos especialistas consideran que ambos genios desarrollaron el mismo mal, una especie de autismo conocido como el síndrome de Aspergen. Opinión con la que, por cierto, su primer maestro está en total desacuerdo.
Antes del millón de dólares, Grisha había rechazado un premio de la Sociedad Matemática Europea y luego hizo lo mismo con la medalla Fields, llamada frecuentemente el Nobel de las Matemáticas, que debería haber recibido en Madrid en 2006, durante el Congreso Internacional.
Al comienzo, nada indicaba que su carrera iba a llegar a las más altas cimas y que -después de que el destino hubiera permitido que triunfara en la ciencia a pesar de los numerosos escollos que un judío como él encontraba en su camino en la antisemita Unión Soviética- terminaría en tragedia -para el mundo científico, al menos-, en el abandono de las matemáticas y en el encierro en sí mismo. Encierro que es prácticamente total, pues Grisha ya no se comunica con nadie, a excepción de su madre; se niega a conceder entrevistas, no responde si a uno se le ocurre ir a verlo y tocar a la puerta de su apartamento, e incluso ha roto todos los vínculos con la mayoría de sus antiguos colegas y maestros.
Grisha se refugia del mundo en Kúpchino, un barrio en el sur de San Petersburgo donde el metro muere. Construido en los años sesenta del siglo pasado, Kúpchino es un típico suburbio dormitorio. La gente que vive cerca de la casa de Perelman -un edificio tipo de nueve plantas-, los que trabajan en las tiendas adonde suele ir, ahora le reconocen. Muchos cuando lo ven sacan sus móviles, con los que le hacen fotos; pero la mayoría se comporta como Grisha quiere: lo dejan en paz.
Perelman se inició en el campo de las matemáticas muy temprano, siendo un niño, como se acostumbraba en la época soviética. Su madre, Lubov, era una talentosa matemática a la que su maestro incluso llegó a ofrecer un puesto en el Instituto Herzen, donde él mismo enseñaba. Esto era un honor, ya que su nombramiento iba a ser difícil por dos razones: primero, porque era mujer -es decir, potencialmente madre, con lo que su consagración a la ciencia resultaba incierta-, y segundo, porque era judía.
Pero Lubov desechó entonces el ofrecimiento por la sencilla razón de que se acababa de casar y quería crear una familia. Pasó más de una década antes de que Lubov volviera a ver a su maestro. Se toparon en la calle y ella le contó que tenía un hijo, Grisha, que mostraba dotes para las matemáticas, como lo probaba su reciente participación exitosa en un concurso del barrio donde vivían, en los suburbios de Leningrado, hoy San Petersburgo. Y le preguntó qué podía hacer para desarrollar ese talento.
Garold Natanson, que así se llamaba el maestro de Lubov, llamó entonces a Serguéi Rukshín, según cuenta él mismo a EL PAÍS, entonces un joven matemático con un don especial para preparar a niños. El resultado de esa conversación fue que Grisha ingresó en 1976 -recién cumplidos los 10 años- en el círculo de matemáticas que funcionaba en el Palacio de Pioneros de Leningrado.
Estos centros de élite, repartidos por la URSS, eran como grandes clubes donde funcionaban numerosos círculos para niños: de matemáticas, de ajedrez, de deportes, de música... Grisha, de hecho, llegó al Palacio de Pioneros de Leningrado sabiendo ya tocar el violín, instrumento que también había estudiado su madre, que era profesora de matemáticas en una escuela.
Como recuerda Rukshín, que en esa época tenía solo 19 años, Grisha acababa de cumplir los 10 años y no era el benjamín del círculo, ni tampoco el más brillante ni el mejor en las competiciones. Y no lo fue hasta varios años después. Era bueno, talentoso, y a diferencia de la mayoría de sus compañeros, se mostraba tranquilo, callado.
Incluso para solucionar los problemas era introvertido; prácticamente no escribía nada previo, no hacía cálculos en el papel, todo lo analizaba mentalmente hasta que obtenía la solución, que pasaba entonces a la hoja que tenía delante.
Había signos que indicaban que la solución estaba próxima: podía tirar una pelota de pimpón contra la pizarra, caminar de allá para acá, marcar un ritmo con un lapicero en el pupitre, restregaba sus muslos -los pantalones que usaba llevaban la marca de esa costumbre- y luego se frotaba las manos, además de emitir ruidos parecidos a quejas o zumbidos, que eran, en realidad, tarareos de alguna pieza musical, como Introducción y rondó caprichoso de Camille Saint-Saëns.
Al principio, Grisha no era el mejor. Pronto llegó a serlo y se convirtió en el alumno preferido de Rukshín. Éste siempre ha defendido que los niños deben concentrarse en aquello que mejor les resulta. Esta posición, dice sonriendo, ha resultado beneficiosa tanto para el ajedrez ruso como para el español. Así, aconsejó a Alexandr Jalifman, el futuro campeón mundial de ajedrez, que se consagrara al juego-ciencia y no a las matemáticas; lo mismo hizo con Valeri Sálov -el gran maestro ruso que en 1992 se mudó a España-, a quien prácticamente expulsó de su círculo matemático.
Probablemente esta concepción de Rukshín hizo que Grisha abandonara sus clases de violín para entregarse por completo a las matemáticas. Su maestro insiste en que no le obligó a dejar la música; al contrario, lo introdujo en la música vocal, a la que Perelman no estaba acostumbrado.
El que dejara de tocar el violín no significa que Grisha renunciara a la música. La verdad es que incluso hoy es una de sus pocas aficiones; le gusta la ópera, y hasta hace poco solía comprar las entradas más baratas en el gallinero del Teatro Mariínski (ex Kírov). También se le puede ver a veces en los conciertos de jóvenes cantores.
Rukshín no solo fue el descubridor de Perelman, sino su primer maestro, el que lo formó y fue su primer tutor científico. Entre ambos se creó una relación especial. Al acercamiento con Grisha contribuyó probablemente el que después de las clases en el Palacio de Pioneros, dos veces por semana, hacían juntos el trayecto en el metro hasta la última estación, Kúpchino, el barrio de Perelman. Rukshín tenía que tomar allí un tren de cercanías hasta su casa, que en ese tiempo estaba en la ciudad de Pushkin.
A los 14 años, Rukshín comenzó a darle clases intensivas de inglés, para que Grisha pudiera entrar en el colegio especializado en física y matemáticas, la famosa Escuela Número 239 de Leningrado. El inglés era el idioma extranjero que estudiaban allí, mientras que en su escuela Grisha había aprendido francés. Al final de las vacaciones, Rukshín había logrado lo imposible: que Grisha estuviera al nivel requerido, o sea, había hecho en menos de tres meses lo que los otros niños habían conseguido en cuatro años.
Grisha ingresó junto con sus compañeros del club en la famosa escuela. Se trataba de la primera vez que, en lugar de dispersar a los miembros del círculo de Rukshín en diferentes clases, los pusieron a todos en una. Así comenzaba otro experimento ideado por Rukshín -no separar a los niños superdotados-, aunque entonces ellos formaran solo la mitad del curso; hoy ya hay clases que funcionan exclusivamente con chicos especialmente talentosos para la ciencia.
El elegido como profesor jefe en la clase de estos superdotados fue Valeri Rízhik, un pedagogo innato, según asegura Masha Gessen en su libro Perfect rigor: A genius and The mathematical breakthrough of the century, dedicado a Perelman.
La idea de Rukshín de no separar a los pequeños genios generó polémica, pero finalmente se impuso; el mismo Rukshín seguiría preparándolos en el club particularmente para las olimpiadas de matemáticas. Rízhik recuerda que Perelman se sentaba al fondo de la clase, nunca hablaba, salvo cuando veía un error en las demostraciones que los niños hacían en la pizarra; entonces levantaba apenas la mano y corregía. Era un chico que se tomaba las reglas al pie de la letra, y por eso nunca se distraía.
Rízhik solía llevar los domingos a los niños de su clase a caminar por el campo o por el bosque, y en las vacaciones, a largas excursiones a otras regiones de Rusia. Grisha nunca fue a ninguna, ni asistió a los Martes Literarios que organizaba su profesor. La opinión de Gessen de que Rízhik desempeñó un importante papel como pedagogo no es compartida por Rukshín, que otorga más méritos a Nikolái Kuksa, ex oficial de submarino que protegió a Grisha durante sus estudios en la Escuela Número 239.
A pesar de sus excentricidades y de su dificultad para comunicarse con otros, Perelman siguió su carrera matemática con relativa normalidad, sobre todo gracias a las personas que, viendo su talento, lo protegieron y consiguieron que fuera admitido en la discriminatoria Facultad de Matemáticas de la Universidad de Leningrado, que solo aceptaba a dos judíos al año. La táctica seguida para ello fue conseguir que Perelman formara parte del equipo olímpico ruso de matemáticas, ya que sus miembros ingresaban automáticamente en la Universidad que eligieran. Grisha no solo lo consiguió, sino que logró un extraordinario resultado en las Olimpiadas de Budapest: 42 problemas resueltos de un total de 42.
Perelman vivía en su propio mundo, ignorando la realidad del mundo exterior, que creía que era justo y que funcionaba como debía, siguiendo reglas claras. Nunca se interesó por la política, tampoco por las chicas, ni se enteró de que la sociedad soviética era antisemita. Su madre, sus profesores y entrenadores se preocuparon de protegerle de esa realidad exterior, de solucionar sus problemas y de garantizar que pudiera dedicarse exclusivamente al mundo de las matemáticas. Fue gracias a ellos -Rukshín, Kuksa, Rízhik, Alexandr Abrámov en el colegio y las competiciones; Víktor Zalgaller, Alexandr Alexándrov y Yuri Burago después- como Perelman pudo terminar la facultad, obtener su doctorado, ganar becas en el extranjero, dar charlas y enseñar.
A los 29 años, estando en EE UU, la Universidad de Princeton mostró interés por contratarlo como profesor asistente, pero él se negó a presentar un currículo; dijo que si lo querían, que le dieran un puesto de profesor titular. No lo hicieron y lo lamentarían.
Perelman fue a Princeton a principios de 1995 a dar una conferencia sobre su prueba de la Conjetura del alma (Soul conjecture) y para entonces se había convertido ya en el mejor geómetra del mundo. ¿Por qué esas exigencias, para qué querían un currículo suyo si habían asistido a sus conferencias? Encontraba absurdo que le pidieran datos sobre su persona. Tampoco aceptó una propuesta para ser profesor titular en Tel Aviv.
De vuelta a San Petersburgo ese mismo año, terminado su Miller Fellowship en Berkeley, Perelman regresó a casa con su madre y al laboratorio de Burago.
Grisha parece haber desarrollado una especie de alergia a los premios a mediados de los noventa. En 1996, la Sociedad Matemática Europea celebró su segundo congreso cuatrienal en Budapest, en el que instituyó premios para matemáticos menores de 32 años. Burago, Anatoli Vérshik, entonces presidente de la Sociedad Matemática de San Petersburgo, y Mijaíl Grómov, el introductor de Perelman en Occidente, presentaron a Grisha, cuya candidatura salió victoriosa. Pero éste, al enterarse, dijo que no quería el premio y que no lo aceptaría; incluso amenazó con montar un escándalo si anunciaban que él era el ganador.
Extraña actitud en una persona que había sido entrenada para ganar olimpiadas, y por tanto, premios. Nunca en su época de competidor había dado indicios de oponerse a los galardones. Más aún, sus fracasos -dos seguidos- fueron los que, según Rukshín, hicieron que Perelman se pusiera las pilas y trabajara duro para triunfar y convertirse en un auténtico científico.
Además, ya como matemático puro y duro, recibió a principios de los años noventa un premio que le otorgó la Sociedad de Matemáticas, que aceptó gustoso.
Todo apunta a que empezó a irritarle la idea de que otra persona pudiera juzgar su trabajo, cuando él se consideraba ya el mejor del mundo. Además vivía bajo una enorme autoexigencia, que le llevaba a considerar que no era merecedor del premio en cuestión, entre otros motivos, porque no había completado su trabajo todavía.
Esta conciencia de su superioridad unida a su rigidez moral -modelada en torno a la figura ideal de Alexándrov, con la exigencia de decir siempre la verdad y solo la verdad- es lo que, según quienes le conocieron, le lleva a rechazar ese premio y otros posteriores.
Paralelamente comienza a autoaislarse de la comunidad científica, aunque participa en actividades matemáticas con niños. Pero en 1996 deja de contestar a los correos electrónicos de sus colegas norteamericanos y prescinde de discutir sus proyectos. A partir de ese momento, nadie sabía en qué estaba trabajando Perelman, aunque seguramente fue cuando comenzó su asalto a la conjetura de Poincaré.
Que Grisha no había desaparecido del todo quedó claro cuatro años más tarde, cuando el matemático norteamericano Mike Anderson recibió un correo electrónico en el que el genio ruso le planteaba algunas dudas sobre un trabajo que este acababa de publicar.
Dos años y medio después se confirmó que Grisha no era de esos talentos prometedores que de pronto se paran y quedan empantanados. El 2 de noviembre de 2002, Anderson recibió, al mismo tiempo que un puñado de matemáticos, otro correo de Perelman en el que informaba de que había colgado un nuevo trabajo en Internet.
De hecho, se trataba de la demostración de la conjetura de Geometrización y de la de Poincaré, aunque él no lo especificaba. Anderson leyó el trabajo, comprendió su importancia e invitó a Perelman a EE UU, cosa que, para su sorpresa, éste aceptó. Al mismo tiempo, envió correos a otros matemáticos llamándoles la atención sobre lo que Grisha había publicado en la Red.
Un año más tarde, el 10 de marzo de 2003, Perelman colgó una segunda parte de su trabajo, mientras hacía los trámites para el visado que le permitiera viajar de nuevo a EE UU. En Norteamérica, Perelman dio magníficas conferencias y comentó a un colega que creía que pasaría un año y medio o dos antes de que se comprendiera la demostración expuesta en su trabajo.
Al mismo tiempo, comenzaron los problemas. The New York Times publicó dos artículos en los que escribía que Perelman había asegurado que había probado la conjetura de Poincaré e insinuaban que lo había hecho para ganar el millón de dólares de recompensa anunciado por el Instituto Clay. Para Grisha, esto, además de ser completamente falso, era un insulto. La verdad es que había empezado a trabajar en Poincaré mucho antes de que el Clay seleccionara los siete problemas del milenio y nunca había tenido especial interés por el dinero.
Perelman rechazó las numerosas ofertas que le hicieron para quedarse en EE UU y regresó a San Petersburgo en abril de 2004. El 17 de julio colgó la tercera y última parte de su trabajo. Si la primera era de 30 páginas y la segunda de 22, esta tenía apenas siete.
Paradójicamente, el hecho de que Grisha colgara su prueba en Internet y se negara a publicarla en una revista especializada -como era la costumbre y una de las condiciones del Clay para dar el millón de dólares- impulsó una amplia discusión sobre su trabajo, abierta y pública, que se desarrolló en seminarios y conferencias especiales.
Algunos matemáticos acometieron la tarea de explicar los trabajos de Perelman y su demostración de las conjeturas de Poincaré y Geometrización, pero también hubo otros que trataron de robarle los laureles y se autoproclamaron como los verdaderos artífices de la solución. Al final tuvieron que dar marcha atrás y reconocer el mérito a Grisha, pero todo esto, así como la demora del Instituto Clay en reconocer la prueba, unida a la indiferencia de sus colegas rusos -que no salieron en su defensa cuando trataron de robarle su logro- debieron abrir una herida profunda en Grisha.
La desilusión en el mundo de los matemáticos, que él creía perfecto y puro, fue creciendo a su regreso de EE UU, al tiempo que aumentó su autoaislamiento. Hasta que en diciembre de 2005 renunció al puesto en el Instituto Steklov, donde trabajaba. Cuando lo hizo, anunció que abandonaba las matemáticas.
Al año siguiente, Perelman recibió un correo electrónico del comité encargado del programa del congreso mundial en el que deberían entregarle la Medalla Fields, invitándole a dar una conferencia con motivo de esta entrega. Pero ni siquiera respondió. Y cuando el director del Steklov habló con Grisha, este le dijo que no había contestado porque los nombres de los miembros del comité eran secretos y él no participaba en conspiraciones.
Si puede haber cierta lógica en el rechazo al premio de la Sociedad Europea -no consideraba completado su trabajo- y en el de la Medalla Fields, que es un estímulo a los ma-, es más difícil comprender su renuncia al millón de dólares del Instituto Clay, que se entrega por solucionar un problema determinado.
Rukshín sostiene que el rechazo al dinero se debió principalmente a la profunda desilusión que sufrió al ver la injusticia de la comunidad matemática y lo que él consideraba deshonestidad, como se lo explicó a John Ball, presidente de la Unión Internacional de Matemáticas, cuando renunció a la Medalla Fields.
Lo que lo desconcertó, lo perturbó, según su maestro, no fue que el mundo fuera imperfecto, sino que el mundo de los matemáticos lo fuera también. Precisamente el mundo que se ocupa de la ciencia más exacta, donde algo o es verdad o es mentira, y donde no hay posición intermedia entre uno y otro extremo, entre correcto o incorrecto. Grisha, según sus allegados, creía que en este universo había un espacio perfecto, el altar de la matemática; él se consagró precisamente a ello y se inventó un paraíso. Y eso también falló. En esto consiste la catástrofe, y aquí, afirma Rukshín, está también la diferencia con Bobby Fischer, que no podía comunicarse con el mundo. Perelman puede: todos sus vecinos atestiguan que se comporta normalmente con ellos, que es sociable y gentil.
Rukshín explica así los sentimientos que llevaron a Grisha a renunciar al millón: "Para comprender a Perelman, imagínese que el teorema es como su hijo, que en la infancia pasó por una enfermedad grave, durante la cual no sabía si sobreviviría o no. Mientras no has demostrado el teorema, mientras continúa siendo una conjetura, es como tu hijo enfermo. Y Grisha estuvo junto a la cabecera de ese hijo nueve o 10 años, luchando por su vida y cuidándolo día y noche. Por fin, el niño sanó, creció, es fuerte y hermoso; pero te lo quieren robar y te lo secuestran. Para Grisha fue como un secuestro cuando trataron de apropiarse del resultado de su trabajo. No pudo aceptar que un teorema pudiera ser comprado, vendido o robado".
Publicado en el diario El País el 03/10/2010: http://www.elpais.com/articulo/reportajes/genio/hombre/enigma/elpepusocdmg/20101003elpdmgrep_1/Tes#despiece1
martes, 23 de marzo de 2010
Nature by numbers
Fantástica animación de Cristóbal Villa (Etérea Estudios) donde se muestran de una forma muy atractiva y visual diferentes relaciones numéricas y geométricas.
viernes, 19 de marzo de 2010
Perelman, el genio recluso de las matemáticas, premiado con un millón de dólares.
El Instituto Clay concede su primer galardón Problemas del Milenio, por la conjetura de Poincaré.
Grigory Perelman, matemático ruso de 43 años, es un caso único. En 2006 le fue concedida la medalla Fields, uno de los mayores premios de la especialidad, en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) celebrado en Madrid, por la resolución de la conjetura de Poincaré. Perelman se negó a asistir y todavía no ha recogido la medalla, aunque tampoco ha rechazado su concesión. Ahora, el Instituto de Matemáticas Clay le premia por lo mismo, ya que la conjetura de Poincaré, planteada en 1904, es uno de los siete Problemas del Milenio, la lista de enigmas matemáticos por resolver que estableció esta institución en 2000. Nadie sabe si Perelman aceptará el galardón, dotado con un millón de dólares (0,73 millones de euros), porque, casi cuatro años después, sigue rehuyendo el contacto con sus antiguos colegas y se cree que ha abandonado totalmente las matemáticas.
El Instituto Clay, con sede en Estados Unidos, lanzó los siete Problemas del Milenio en 2000 en conmemoración de los famosos 23 problemas enunciados por David Hilbert en el ICM de París de 1900. Estos premios se conceden por trabajos publicados en revistas científicas y que han superado una revisión por otros especialistas. Los artículos de Perelman han superado dicho escrutinio, pero sólo han sido publicados electrónicamente. Aún así, un comité formado por Simon Donaldson, David Gabai, Mikhail Gromov, Terence Tao -también medalla Fields en Madrid en 2006- y Andrew Wiles -que demostró el último teorema de Fermat-, propuso a Perelman como receptor del premio. La fundación anunció ayer su concesión, el primer Premio del Milenio que concede. James Carlson, presidente del Instituto Clay, ha dicho: "La resolución de la conjetura de Poincaré por Grigory Perelman cierra un siglo de investigaciones. Es uno de los mayores logros en la historia de las matemáticas".También ha anunciado que, junto con el Institut Henri Poincaré, organizará un congreso para celebrar la resolución de la conjetura los días 8 y 9 de junio en París.
Perelman se ha abstenido de hacer declaraciones públicas desde 2006, cuando transmitió, de forma no muy clara, que el bajo nivel de los estándares éticos en el mundo de las matemáticas le había hecho dejarlas, especialmente al saber que podían darle la medalla Fields y se convertiría en una figura pública. Parecía referirse a los esfuerzos del matemático chino Shing-Tung Yau por promocionar el trabajo de dos discípulos suyos en el mismo tema, en detrimento del de Perelman . "No son los que incumplen los estándares éticos los que son considerados marcianos. Es la gente como yo la que queda aislada", dijo entonces el matemático ruso. Cuando le preguntaron si aceptaría el premio que ahora le han dado, con su elevada cuantía económica (la medalla Fields está dotada con apenas 7.000 euros) dijo que esperaría a que se lo concedieran para decidirlo.
"La concesión de la medalla Fields a Perelman convirtió el congreso de Madrid en áquel en que se resuelve uno de los problemas más importantes en la historia de las matemáticas", comenta Manuel de León, uno de los organizadores del ICM2006. "Además, el halo de enigma que envolvió a Perelman hizo que durante unos días todo el mundo hablara de matemáticas, algo completamente insólito. Desde luego fue uno de los mayores acontecimientos en el mundo matemático".
Sir John Ball, entonces presidente de la Unión Matemática Internacional (IMU) -el organismo que concede las medallas Fields-, dedicó mucho esfuerzo a convencer a Perelman de que fuera a Madrid, sin éxito. La medalla se concedió igualmente, y su anuncio ante los 4.000 asistentes al acto inaugural del ICM en el Palacio Municipal de Congresos de Madrid fue recibido con un gran aplauso. La medalla Fields de Perelman sigue guardada y esperando a su dueño. Este año, en agosto, se celebra el siguiente ICM en Hyderabad (India) , y de nuevo la IMU tratará de convencer a Perelman de que asista y recoja su medalla.
"Es un nuevo espaldarazo al impresionante trabajo de Perelman", señala De León. "La concesión de este premio tenía un escollo difícil de resolver, relacionado con las bases de la convocatoria, que exigían la publicación previa de los resultados en las revistas especializadas. Perelman había colgado sus artículos en el servidor de preprints arXiv. Es una gran noticia que este obstáculo haya sido resuelto".
La conjetura de Poincaré
Perelman se ha abstenido de hacer declaraciones públicas desde 2006, cuando transmitió, de forma no muy clara, que el bajo nivel de los estándares éticos en el mundo de las matemáticas le había hecho dejarlas, especialmente al saber que podían darle la medalla Fields y se convertiría en una figura pública. Parecía referirse a los esfuerzos del matemático chino Shing-Tung Yau por promocionar el trabajo de dos discípulos suyos en el mismo tema, en detrimento del de Perelman . "No son los que incumplen los estándares éticos los que son considerados marcianos. Es la gente como yo la que queda aislada", dijo entonces el matemático ruso. Cuando le preguntaron si aceptaría el premio que ahora le han dado, con su elevada cuantía económica (la medalla Fields está dotada con apenas 7.000 euros) dijo que esperaría a que se lo concedieran para decidirlo.
"La concesión de la medalla Fields a Perelman convirtió el congreso de Madrid en áquel en que se resuelve uno de los problemas más importantes en la historia de las matemáticas", comenta Manuel de León, uno de los organizadores del ICM2006. "Además, el halo de enigma que envolvió a Perelman hizo que durante unos días todo el mundo hablara de matemáticas, algo completamente insólito. Desde luego fue uno de los mayores acontecimientos en el mundo matemático".
Sir John Ball, entonces presidente de la Unión Matemática Internacional (IMU) -el organismo que concede las medallas Fields-, dedicó mucho esfuerzo a convencer a Perelman de que fuera a Madrid, sin éxito. La medalla se concedió igualmente, y su anuncio ante los 4.000 asistentes al acto inaugural del ICM en el Palacio Municipal de Congresos de Madrid fue recibido con un gran aplauso. La medalla Fields de Perelman sigue guardada y esperando a su dueño. Este año, en agosto, se celebra el siguiente ICM en Hyderabad (India) , y de nuevo la IMU tratará de convencer a Perelman de que asista y recoja su medalla.
"Es un nuevo espaldarazo al impresionante trabajo de Perelman", señala De León. "La concesión de este premio tenía un escollo difícil de resolver, relacionado con las bases de la convocatoria, que exigían la publicación previa de los resultados en las revistas especializadas. Perelman había colgado sus artículos en el servidor de preprints arXiv. Es una gran noticia que este obstáculo haya sido resuelto".
La conjetura de Poincaré
Henri Poincaré, al estudiar la estabilidad del Sistema Solar, puso los cimientos de la disciplina matemática denominada Topología. Su conjetura dice, más o menos, que un espacio que tiene las mismas propiedades topológicas que una esfera debe ser una esfera.
La conjetura fue enunciada en 1904, y se probó para todas las dimensiones, excepto en la dimensión 3. Los intentos para probarla también en este caso han sido muchísimos, usando técnicas variadas. En 1982, Richard Hamilton abrió una nueva línea de ataque, usando el llamado flujo de Ricci, basada en la ecuación del calor de Joseph Fourier. El trabajo de Hamilton no fue capaz de superar una serie de problemas ligados a la aparición de singularidades, y ésta ha sido la aportación genial de Perelman.
La conjetura fue enunciada en 1904, y se probó para todas las dimensiones, excepto en la dimensión 3. Los intentos para probarla también en este caso han sido muchísimos, usando técnicas variadas. En 1982, Richard Hamilton abrió una nueva línea de ataque, usando el llamado flujo de Ricci, basada en la ecuación del calor de Joseph Fourier. El trabajo de Hamilton no fue capaz de superar una serie de problemas ligados a la aparición de singularidades, y ésta ha sido la aportación genial de Perelman.
Publicado en El País del 19/03/2010
viernes, 19 de febrero de 2010
Esta española será la primera en enseñar la geometría de las pompas de jabón
ENTREVISTA: ALMUERZO CON... ISABEL FERNÁNDEZ
Esta española será la primera en enseñar geometría en el congreso mundial
"Las matemáticas dan una cosilla... como un subidón"
"Es como si estuvieras en tu equipillo y de repente fueras llamada a la selección... No te esperas tanta repercusión". Isabel Fernández (Linares, 1979) saltó de alegría hace un año, cuando la invitaron a la reina de las cumbres matemáticas. Será la primera española que acuda al International Congress of Mathematicians (ICM) gracias a su investigación sobre la geometría de las pompas de jabón. Suena cómico y enigmático, pero ella corrige: "Apasionante". La cita: el próximo agosto en Hyderabad (India).
Fernández ha escogido hoy el céntrico restaurante Contenedor de Sevilla. Ha llegado al almuerzo en bicicleta desde la universidad, donde trabaja como profesora. "Conozco su delicioso arroz con pato, pero pídelo tú y yo pruebo otra especialidad", aconseja. Durante la comida, Fernández es una ametralladora que dispara ideas complejas adobadas con sonrisas que hacen terrenal su inteligencia. Cuando su entusiasmo se lo permite, ataca la ensalada de salmón.
Tras descartar el sueño de arqueóloga a lo Indiana Jones, Fernández se decantó "a lo kamikaze" por lo que mejor se le daba. Las mates impregnaron su vida y las tangentes se mezclaron con las curvas planas con sabor infantil a jabón. "Pero que conste, no mortifico a mi novio y no le cuento cada vez que alcanzo un lema [previo a los teoremas]. Me gusta lanzar catenoides. Tienes cierto control sobre las propiedades de las superficies y las pones a prueba", cuenta resuelta.
El próximo verano explicará ante la élite matemática sus avances en la geometría de las pompas de jabón, junto a su compañero Pablo Soto. Didáctica y siempre con la sonrisa en la recámara, Fernández define sus investigaciones, pero apenas ha tocado la ensalada que el camarero trajo hace ya 15 minutos: "Estudiamos superficies agradables como las pompas, con el menor esfuerzo. Pero no he hecho una pompa en mi vida", avisa. ¿Nunca? "Jamás". Sorprendente que esta joven no se haya lanzado a una bañera Mistol y alambre en mano para poner en práctica las formas y dulzura que adaptan las pompas. Todo son fórmulas y más fórmulas que escribe en el folio en blanco para luego contrastar con su colega Soto por skype. Con ella, la teoría no baja a la práctica. "En clase puedo llenar pizarras y pizarras de fórmulas, no me canso", avisa. ¿Y canta eureka? "Pues la verdad, soy más del 'sí, sí" [cierra el puño con fuerza]. A continuación, recuerda que la maravilla de las cualidades de las pompas, avanzadas por el belga Joseph Plateau, está aplicada con éxito, como en el estadio olímpico de Múnich.
Fernández rompe el tópico del matemático despistado y en las nubes, y no hay dudas de su pasión por la investigación: "Hay cosas que te emocionan, y esa idea de que las matemáticas son aburridas... luego te da una cosilla... como un subidón". Pasados 40 minutos, el zumo de tomate sigue a medias mientras se pisa las frases, pero al menos ya saborea el bacalao acompañado de una "excelente" crema de boniato. Con la boca pequeña confiesa que las clases en la facultad le sirven "para recuperar la autoestima y resolver problemas que sabes". Antes de irse, bromea sobre su conferencia en la India: "Me temblarán las piernas, pero intentaré que no se note mucho".
"Las matemáticas dan una cosilla... como un subidón"
"Es como si estuvieras en tu equipillo y de repente fueras llamada a la selección... No te esperas tanta repercusión". Isabel Fernández (Linares, 1979) saltó de alegría hace un año, cuando la invitaron a la reina de las cumbres matemáticas. Será la primera española que acuda al International Congress of Mathematicians (ICM) gracias a su investigación sobre la geometría de las pompas de jabón. Suena cómico y enigmático, pero ella corrige: "Apasionante". La cita: el próximo agosto en Hyderabad (India).
Fernández ha escogido hoy el céntrico restaurante Contenedor de Sevilla. Ha llegado al almuerzo en bicicleta desde la universidad, donde trabaja como profesora. "Conozco su delicioso arroz con pato, pero pídelo tú y yo pruebo otra especialidad", aconseja. Durante la comida, Fernández es una ametralladora que dispara ideas complejas adobadas con sonrisas que hacen terrenal su inteligencia. Cuando su entusiasmo se lo permite, ataca la ensalada de salmón.
Tras descartar el sueño de arqueóloga a lo Indiana Jones, Fernández se decantó "a lo kamikaze" por lo que mejor se le daba. Las mates impregnaron su vida y las tangentes se mezclaron con las curvas planas con sabor infantil a jabón. "Pero que conste, no mortifico a mi novio y no le cuento cada vez que alcanzo un lema [previo a los teoremas]. Me gusta lanzar catenoides. Tienes cierto control sobre las propiedades de las superficies y las pones a prueba", cuenta resuelta.
El próximo verano explicará ante la élite matemática sus avances en la geometría de las pompas de jabón, junto a su compañero Pablo Soto. Didáctica y siempre con la sonrisa en la recámara, Fernández define sus investigaciones, pero apenas ha tocado la ensalada que el camarero trajo hace ya 15 minutos: "Estudiamos superficies agradables como las pompas, con el menor esfuerzo. Pero no he hecho una pompa en mi vida", avisa. ¿Nunca? "Jamás". Sorprendente que esta joven no se haya lanzado a una bañera Mistol y alambre en mano para poner en práctica las formas y dulzura que adaptan las pompas. Todo son fórmulas y más fórmulas que escribe en el folio en blanco para luego contrastar con su colega Soto por skype. Con ella, la teoría no baja a la práctica. "En clase puedo llenar pizarras y pizarras de fórmulas, no me canso", avisa. ¿Y canta eureka? "Pues la verdad, soy más del 'sí, sí" [cierra el puño con fuerza]. A continuación, recuerda que la maravilla de las cualidades de las pompas, avanzadas por el belga Joseph Plateau, está aplicada con éxito, como en el estadio olímpico de Múnich.
Fernández rompe el tópico del matemático despistado y en las nubes, y no hay dudas de su pasión por la investigación: "Hay cosas que te emocionan, y esa idea de que las matemáticas son aburridas... luego te da una cosilla... como un subidón". Pasados 40 minutos, el zumo de tomate sigue a medias mientras se pisa las frases, pero al menos ya saborea el bacalao acompañado de una "excelente" crema de boniato. Con la boca pequeña confiesa que las clases en la facultad le sirven "para recuperar la autoestima y resolver problemas que sabes". Antes de irse, bromea sobre su conferencia en la India: "Me temblarán las piernas, pero intentaré que no se note mucho".
Publicado por Javier Martín-Arroyo en El País 19/02/2010
jueves, 18 de febrero de 2010
Matemáticas y flamenco
El interés que despierta el flamenco ha llegado hasta las matemáticas. Un estudio matemático ha intentado identificar los vínculos entre los principales estilos del flamenco y establecer el árbol de la evolución de los diferentes palos. También intenta explicar por qué algunos palos gozan de más popularidad que otros.
Un equipo multidisciplinar, formado por investigadores de la Universidad de Sevilla, la Universidad Politécnica de Madrid, las universidades canadienses Queen’s y McGill y con la colaboración de una concertista de la Real Escuela Profesional de Danza de Madrid, ha analizado algunos patrones rítmicos del flamenco aplicando métodos matemáticos y técnicas propias de la biología y de la genética. Es decir, se ha tratado el flamenco como si fuera un ser vivo.
Según los autores del estudio, "el patrón rítmico o compás es el código que contiene la información genética de cada estilo". Por esta razón, el estudio parte del análisis del ritmo que marcan las palmas, componente básico sobre el que se construye todo lo demás: letra, armonía y melodía.
Los autores han establecido como base del estudio el fandango, la soleá, la bulería, la seguiriya y la guajira, todos ellos con patrones rítmicos ternarios. Los investigadores han aplicado dos medidas matemáticas. La primera, llamada distancia cronotónica, mide la diferencia que existe entre la representación gráfica de dos ritmos. La segunda, conocida como permutación dirigida, mide el número de permutaciones necesarias en un ritmo para que se convierta en otro distinto.
Aplicando técnicas bioinformáticas a estos resultados, se ha construido un árbol filogenético que intenta averiguar la existencia de un palo primitivo del que derivaron todos los demás, fijar las relaciones entre los principales estilos y explicar la evolución de los diferentes palos y la popularidad de algunos cantes entre aficionados y artistas.
Las conclusiones del estudio sitúan a la guajira y al fandango en el centro de los patrones rítmicos ternarios. Esto podría otorgarles la condición de patrones rítmicos primitivos, pero el propio estudio matiza que estos resultados deben someterse a la realidad de los hechos.
La guajira queda descartada como patrón primitivo por ser un cante de ida y vuelta. En cambio, en lo que respecta al fandango, coincide con la opinión de algunos flamencólogos y con lo que supone la existencia de modalidades evolucionadas del fandango en todas las provincias andaluzas: malagueñas, granaínas, tarantas…
Un equipo multidisciplinar, formado por investigadores de la Universidad de Sevilla, la Universidad Politécnica de Madrid, las universidades canadienses Queen’s y McGill y con la colaboración de una concertista de la Real Escuela Profesional de Danza de Madrid, ha analizado algunos patrones rítmicos del flamenco aplicando métodos matemáticos y técnicas propias de la biología y de la genética. Es decir, se ha tratado el flamenco como si fuera un ser vivo.
Según los autores del estudio, "el patrón rítmico o compás es el código que contiene la información genética de cada estilo". Por esta razón, el estudio parte del análisis del ritmo que marcan las palmas, componente básico sobre el que se construye todo lo demás: letra, armonía y melodía.
Los autores han establecido como base del estudio el fandango, la soleá, la bulería, la seguiriya y la guajira, todos ellos con patrones rítmicos ternarios. Los investigadores han aplicado dos medidas matemáticas. La primera, llamada distancia cronotónica, mide la diferencia que existe entre la representación gráfica de dos ritmos. La segunda, conocida como permutación dirigida, mide el número de permutaciones necesarias en un ritmo para que se convierta en otro distinto.
Aplicando técnicas bioinformáticas a estos resultados, se ha construido un árbol filogenético que intenta averiguar la existencia de un palo primitivo del que derivaron todos los demás, fijar las relaciones entre los principales estilos y explicar la evolución de los diferentes palos y la popularidad de algunos cantes entre aficionados y artistas.
Las conclusiones del estudio sitúan a la guajira y al fandango en el centro de los patrones rítmicos ternarios. Esto podría otorgarles la condición de patrones rítmicos primitivos, pero el propio estudio matiza que estos resultados deben someterse a la realidad de los hechos.
La guajira queda descartada como patrón primitivo por ser un cante de ida y vuelta. En cambio, en lo que respecta al fandango, coincide con la opinión de algunos flamencólogos y con lo que supone la existencia de modalidades evolucionadas del fandango en todas las provincias andaluzas: malagueñas, granaínas, tarantas…
Árbol filogenético según la distancia de la permutación dirigida
El estudio también otorga una situación destacada a la soleá. También podría ser el patrón primitivo que, tras un proceso evolutivo, dio origen a los demás. No en balde, la bulería proviene de la soleá y es muy conocida la inclinación de los puristas por los estilos que usan el patrón de la soleá.El estudio también trata de explicar por qué ciertos tipos de ritmos son más populares que otros. Los más populares son aquellos que poseen asimetría rítmica, que en lo musical está relacionada con el concepto de silencio alargado que tanto atrae a los aficionados.
La presencia de asimetría rítmica en las bulerías, las bulerías por soleá y las soleás podría explicar la popularidad de la bulería entre el público general y la inclinación de los llamados flamencos "puristas" por los estilos que usan el patrón de la soleá.
Las conclusiones de estudios de este tipo pueden resultar interesantes para completar la escasa información de que disponemos acerca de los orígenes del flamenco. Muchas son las teorías discutidas sobre el nacimiento de este arte que afectan incluso al origen de su nombre.
Sirven también para proporcionar al musicólogo flamenco herramientas de análisis del ritmo y sugerirle ideas sobre las cuestiones muy discutidas como las relaciones entre los diferentes palos, la preferencia de estilos, búsqueda de estilos ancestrales o influencia de músicas externas a Andalucía.
jueves, 15 de octubre de 2009
La cara amable de las matemáticas
La ciencia de las matemáticas es, como asignatura, una de las materias que más se atraganta a los niños. Sin embargo, esta disciplina constituye una de las herramientas más importantes para la vida cotidiana, pese al desconocimiento que existe sobre ella. La mayoría de las cosas se organizan a partir de los números, pero las matemáticas están presentes en más aspectos de lo que se suele pensar, desde la navegación en mar abierto hasta la telefonía móvil o el vuelo de los aviones. Así lo constata el inglés Ian Stewart, director del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick (Reino Unido), en su obra Historia de las Matemáticas (Editorial Crítica), donde repasa los grandes hitos de la historia de esta disciplina.
Los datos manejados por Stewart no dejan lugar a dudas sobre la importancia de un campo de conocimiento dividido en casi un centenar de áreas mayores, subdivididas a su vez en varios miles de especialidades, que ocupa a más de 50.000 matemáticos investigadores en el mundo y sobre el cual se publican más de un millón de páginas nuevas cada año.
Y entonces, ¿a qué se debe su impopularidad? Fundamentalmente, según expone el autor, a que la mayoría de las matemáticas que se enseñan hoy en las escuelas tienen más de 200 años, y esto impide a los ciudadanos conocer sus usos y teorías más modernas y, por tanto, ser conscientes de la importancia de su aplicación a los elementos tecnológicos que emplean a diario.
Las matemáticas trabajan con un sistema numérico creado hace más de 1.500 años (unos 450 si hablamos de los decimales) y que hoy es clave, por ejemplo, para los biólogos empeñados en descifrar la información de la molécula de ADN descubierta en 1956 por James Watson y Francis Crick.
Asimismo, y aunque habrá quien piense que el comercio on-line es un procedimiento relacionado exclusivamente con la informática, en realidad se basa en la teoría de los números, que sirve de fundamento para muchos códigos de seguridad utilizados en Internet. El más conocido de ellos es el criptosistema RSA, que tiene la sorprendente característica de que el método que emplea para encriptar mensajes puede hacerse público sin necesidad de revelar el proceso inverso para desencriptarlo. Pero hay más ejemplos sorprendentes en un viaje por el conocimiento matemático que le quitará el rostro huraño a esta ciencia y la revelará como el amigo invisible de quien dependen muchas de nuestras comodidades diarias.
Los datos manejados por Stewart no dejan lugar a dudas sobre la importancia de un campo de conocimiento dividido en casi un centenar de áreas mayores, subdivididas a su vez en varios miles de especialidades, que ocupa a más de 50.000 matemáticos investigadores en el mundo y sobre el cual se publican más de un millón de páginas nuevas cada año.
Y entonces, ¿a qué se debe su impopularidad? Fundamentalmente, según expone el autor, a que la mayoría de las matemáticas que se enseñan hoy en las escuelas tienen más de 200 años, y esto impide a los ciudadanos conocer sus usos y teorías más modernas y, por tanto, ser conscientes de la importancia de su aplicación a los elementos tecnológicos que emplean a diario.
Las matemáticas trabajan con un sistema numérico creado hace más de 1.500 años (unos 450 si hablamos de los decimales) y que hoy es clave, por ejemplo, para los biólogos empeñados en descifrar la información de la molécula de ADN descubierta en 1956 por James Watson y Francis Crick.
Asimismo, y aunque habrá quien piense que el comercio on-line es un procedimiento relacionado exclusivamente con la informática, en realidad se basa en la teoría de los números, que sirve de fundamento para muchos códigos de seguridad utilizados en Internet. El más conocido de ellos es el criptosistema RSA, que tiene la sorprendente característica de que el método que emplea para encriptar mensajes puede hacerse público sin necesidad de revelar el proceso inverso para desencriptarlo. Pero hay más ejemplos sorprendentes en un viaje por el conocimiento matemático que le quitará el rostro huraño a esta ciencia y la revelará como el amigo invisible de quien dependen muchas de nuestras comodidades diarias.
Arquitectura: puentes colgantes
El cálculo infinitesimal tiene múltiples repercusiones en la vida humana, aunque posiblemente la más destacada de ellas haya sido el descubrimiento de la curva necesaria para que un puente colgante no se desplome, conocida como catenaria. Esta aplicación fue descrita en el año 1691 por Johann Bernoulli, basándose en la mecánica y las leyes de movimiento de Isaac Newton. Bernoulli descartó la hipótesis de que la figura correcta era una parábola –aunque es cierto que los cables de suspensión de los puentes son parabólicos, lo que ocurre porque, además de su peso, soportan el del puente–. Igualmente, este cálculo es básico para trazar la trayectoria de las sondas espaciales, calcular el desplazamiento de vehículos, o incluso estudiar la difusión de epidemias. De hecho muchas de las intervenciones que se ponen en marcha contra estos problemas de salud pública se basan en el cálculo infinitesimal.
Comunicación: telefonía móvil
El teléfono móvil hace un uso esencial de la geometría de espacios multidimensionales, igual que la conexión a Internet, la televisión por satélite o cable y prácticamente cualquier otro aparato tecnológico que envíe o reciba mensajes. La comunicación moderna, en cualquiera de sus modalidades, es digital, con lo que todos los mensajes, incluidos los de voz, se convierten en pautas binarias basadas en los números 0 y 1. Pero las comunicaciones no son útiles si no son fiables: existe la posibilidad de que el mensaje recibido tenga alteraciones respecto al enviado, y el hardware electrónico no puede garantizar la precisión porque las interferencias e incluso un rayo cósmico pueden producir errores. Por ello, los ingenieros usan técnicas matemáticas basadas en los espacios multidimensionales para codificar las señales, de forma que el sistema puede detectar y corregir las imprecisiones.
Soportes: el alma de los CD y DVD
Los campos de Galois del álgebra abstracta forman la base de un sistema de codificación muy empleado en la actualidad en aplicaciones comerciales, fundamentalmente en la grabación de CD y DVD. Al reproducir música en cualquier formato o poner una película en los cines, se utiliza álgebra abstracta basada en los códigos de Reed-Solomon, introducidos en 1960. Se trata de códigos de corrección de errores basados en un polinomio, con coeficientes en un campo finito, construido a partir de los datos a codificar, tales como las señales musicales o de vídeo. Su base de funcionamiento consiste en calcular el polinomio en más de n puntos; si no hay errores, cualquier subconjunto de n datos reconstruirá el mismo polinomio. Por el contrario, si los hay, siempre que su número no sea demasiado grande sigue siendo posible deducir el polinomio y, a partir de él, escuchar la canción o visionar la película deseada.
Navegación: GPS para todos
Los automóviles incluyen ya un sistema de posicionamiento global (GPS), que utiliza la información de 24 satélites. Las señales de radio viajan a la velocidad de la luz (300.000 kilómetros por segundo) y un computador en el automóvil puede calcular la distancia hasta el satélite si conoce cuánto tiempo ha tardado la señal en viajar desde el satélite al automóvil. Este tiempo suele ser de una décima de segundo, pero para contarlo de forma precisa ahora la señal contiene información sobre el tiempo. La navegación también se ha simplificado gracias a este método, puesto que antes dependía de la geometría para la elaboración de las coordenadas. Para hallar la latitud se medía el ángulo del sol por encima del horizonte con un sextante, y la longitud se sabía gracias a un reloj de alta precisión, combinado con la información sobre el amanecer y el ocaso, y los movimientos de los astros.
Diseño: curvas para volar
El análisis numérico desempeña un papel central en el diseño de los aviones modernos. Hasta hace poco, los ingenieros calculaban el flujo del aire en el rozamiento con las alas y el fuselaje en los túneles del viento. Para ello, colocaban un modelo de avión en el túnel, soplaban aire con un sistema de ventiladores y observaban las pautas de comportamiento de la corriente. Ecuaciones como las de Navier-Stokes les proporcionaban ideas teóricas, pero era imposible resolverlas con exactitud para aviones reales por su forma complicada. Los computadores actuales son tan potentes que ahora, en muchos casos, se recurre al túnel del viento numérico, ya que permite resolver con seguridad las precisas ecuaciones de Navier-Stokes. La computación actual permite, además, visualizar y analizar cualquier característica deseada del flujo de aire para prever cualquier comportamiento de la aeronave.
Orientación: los mapas más exactos
La trigonometría es fundamental para el desarrollo de la topografía en escalas, empleada para mediciones que van desde la supervisión de emplazamientos que se están construyendo hasta la determinación de los límites de los continentes. En el mundo real es relativamente fácil medir ángulos con alta precisión, pero hallar con exactitud las distancias es mucho más difícil, especialmente si se trata de un terreno abrupto. Por eso los topógrafos empiezan haciendo una medida cuidadosa de una longitud, a la que denominan la línea de base. Luego forman una red de triángulos y utilizan los ángulos para calcular los lados de estos triángulos. Así puede construirse un mapa preciso de toda el área de interés, empleando el proceso conocido como triangulación. Para comprobar su precisión, es habituar hacer una segunda medida de distancia una vez que la triangulación se ha completado.
Biología: análisis de poblaciones
El análisis matemático se utiliza en biología para estudiar el crecimiento de poblaciones de organismos. Un ejemplo muy claro de ello es el modelo logístico o de Verhulst-Pearl, en donde entran en juego el cambio de la población durante un determinado periodo de tiempo y la capacidad de sustentación, esto es, la máxima población que puede sostener el entorno donde se encuentra. En este modelo, la pauta de crecimiento empieza con un crecimiento exponencial, pero cuando la población alcanza la mitad de la capacidad de sustentación, el incremento de individuos empieza a frenarse y con el tiempo la población se estabiliza. La curva resultante no es totalmente realista, aunque se ajusta bastante bien a muchas posibilidades reales. Con este método también es posible estudiar el consumo humano de recursos naturales, lo que hace posible estimar la demanda futura y cuánto durarán los recursos.
Simetría: el patrón de la piel
Dentro de los diferentes campos de las matemáticas, la teoría de los grupos aparece incluida entre las teorías de formación de pautas, como la de las ecuaciones de reacción-difusión, introducida en 1952 por Alan Turing como una posible explicación de las pautas simétricas de la piel de los animales. Según la teoría, al igual que un sistema de sustancias químicas puede difundirse a través de una región del espacio, las sustancias también pueden reaccionar para producir nuevas sustancias. La hipótesis señala que, si la región es un plano, las ecuaciones son simétricas bajo movimientos rígidos y su solución es un estado uniforme; como ocurre con una piel del mismo color. Pero el estado uniforme puede ser inestable, en cuyo caso la solución será simétrica bajo algunos movimientos rígidos, pero no bajo otros, dando lugar a rupturas de simetría como las franjas o manchas irregulares que ofrece el dibujo de la piel de los animales.
Biomedicina: nuevos fármacos
Uno de los usos más importantes de la teoría de las probabilidades se da en los ensayos clínicos de nuevos medicamentos, que constituyen el procedimiento por el cual se determina su seguridad y efectividad. Cualquier dato obtenido ha de ser sometido a la pregunta de si se trata de una conclusión estadísticamente significativa, esto es, si el medicamento funciona realmente o su efecto beneficioso es la consecuencia de un puro azar. El problema se resuelve utilizando métodos estadísticos conocidos como comprobación de hipótesis, donde se comparan los datos obtenidos en los ensayos con un modelo estadístico y se estima la probabilidad de que el resultado aparezca por azar. Así por ejemplo, si esa probabilidad es menor de 0,01, los investigadores sabrían que están ante un medicamento que ofrece un resultado alejado del azar en 0,99, o, lo que es lo mismo, con un 99% de eficacia.
Espacio: sondas en otros mundos
Podría parecer que el caos no tiene aplicaciones prácticas al ser irregular e impredecible, pero, al basarse en leyes deterministas, resulta útil gracias a estas mismas características. Hacia 1950, John von Newmann sugirió que la inestabilidad del tiempo meteorológico podría ser una ventaja al implicar que un efecto muy deseado puede ser generado por una perturbación muy pequeña. En 1979, Edward Belbruno se dio cuenta de que este principio podía mover naves espaciales en largas distancias con muy poco consumo de combustible, lo que se aplicó a la sonda Hiten en 1990 y otras como la Génesis. Este método de control de sistemas caóticos se emplea para sincronizar bancos de láseres, controlar irregularidades del latido cardiaco con marcapasos inteligentes o monitorizar las ondas eléctricas en el cerebro.
Publicado en Público.es el día 26/12/2008
miércoles, 7 de octubre de 2009
1º CC.SS. Combinatoria
Pincha en esta dirección y podrás hacer ejercicios de Combinatoria:
http://www.emathematics.net/es/combinatoria.php
http://www.emathematics.net/es/combinatoria.php
martes, 6 de octubre de 2009
1º E.S.O. Números Naturales: operaciones combinadas. Potencias
Si pinchas en esta dirección podrás resolver ejercicios de operaciones combinadas de números naturales:
y en esta otra de potencias:
4º E.S.O. y 1º CC.NN. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
En estas direcciones puedes resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas:
http://www.ematematicas.net/ecexponencial.php?a=4
http://www.ematematicas.net/eclogaritmica.php?a=4
http://www.ematematicas.net/ecexponencial.php?a=5
http://www.ematematicas.net/eclogaritmica.php?a=5
http://www.todomates.com/apuntes/exponenciales_y_logaritmos.pdf
http://www.todomates.com/apuntes/ejercicios_logaritmos.pdf
http://www.ematematicas.net/ecexponencial.php?a=4
http://www.ematematicas.net/eclogaritmica.php?a=4
http://www.ematematicas.net/ecexponencial.php?a=5
http://www.ematematicas.net/eclogaritmica.php?a=5
http://www.todomates.com/apuntes/exponenciales_y_logaritmos.pdf
http://www.todomates.com/apuntes/ejercicios_logaritmos.pdf
4º E.S.O. Potencias
Si pinchas en esta dirección podrás realizar ejercicios de potencias:
http://www.ematematicas.net/potencia2.php?a=4
http://www.ematematicas.net/potencia2.php?a=4
4º E.S.O. y 1º CC.NN. Logaritmos
Si pinchas en esta dirección podrás hacer ejercicios de logaritmos:
http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=4
http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=5
http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=4
http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=5
4º E.S.O. y 1º CC.NN. Radicales
Si pinchas aquí puedes realizar ejercicios de racionalización de denominadores:
http://www.ematematicas.net/racionaliza.php?a=4
Si pinchas en esta otra dirección realizarás ejercicios de operaciones con radicales:
http://www.ematematicas.net/racionaliza.php?a=4
Si pinchas en esta otra dirección realizarás ejercicios de operaciones con radicales:
miércoles, 30 de septiembre de 2009
4º E.S.O. Exámenes
En la siguiente dirección podrás practicar haciendo exámenes de todas las materias de 4º de ESO:
En esta puedes hacer exámenes de Matemáticas de la opción A:
En esta otra tienes las Matemáticas de la opción B:
3º E.S.O. Exámenes
En la siguiente dirección podrás practicar haciendo exámenes de todas las materias de 3º de ESO:
Y en esta otra tienes los exámenes de Matemáticas:
2º E.S.O. Exámenes
En la siguiente dirección podrás practicar haciendo exámenes de todas las materias de 2º de ESO:
Y en esta otra puedes hacer exámenes de Matemáticas:
1º E.S.O. Exámenes
En la siguiente dirección podrás practicar haciendo exámenes de todas las materias de 1º de ESO:
Y en esta puedes hacer exámenes de Matemáticas:
miércoles, 23 de septiembre de 2009
martes, 7 de abril de 2009
Matemáticas y fotografía
"La matemática es la ciencia del ojo" Gauss
Pincha en la siguiente dirección y luego en cada foto:
http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2000/matefoto/libro/coleccin.htm
Pincha en la siguiente dirección y luego en cada foto:
http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2000/matefoto/libro/coleccin.htm
sábado, 21 de febrero de 2009
La Geometría de la Naturaleza
En la segunda mitad del siglo pasado, Benoît Mandelbrot convenció al mundo científico de que la geometría euclidiana que usamos desde los tiempos clásicos no servía para describir la naturaleza. Que las montañas no son pirámides, que los árboles no son conos, que las líneas de costa no son rectas. Y propuso el uso de una nueva geometría que describe mejor la complejidad de las formas naturales: la geometría fractal. Las estructuras fractales son autosimilares, lo que quiere decir que las partes se parecen al todo.
Un río es un cauce de agua al que llegan afluentes, y un afluente es un cauce deArmonía Fractal.com
agua al que llegan arroyos, y un arroyo es un cauce de agua al que llegan
riachuelos, y un riachuelo es un cauce de agua al que llegan barrancos, y un
barranco es un cauce ocasional de agua al… Se dice por tanto que las estructuras
fractales no varían con la escala a la que se miren. La geometría fractal se
manifiesta en todas los aspectos del paisaje, pero especialmente es aquellos
lugares del planeta que no han sido transformados por la actividad humana.
Y recordé el vacío, los átomos, los sistemas planetarios, las galaxias, el universo entero… el vacío…
Y recordé a Goldsworthy y volví a ver Ríos y Mareas…
Ahora fíjense en el trabajo del fotógrafo Héctor Garrido en el Parque Nacional de Doñana desde el aire. La naturaleza es alucinante…a cualquier escala…
martes, 17 de febrero de 2009
Cuentos del cero
Autor: Luis Balbuena
Editorial: Nivola
Año de Publicación: 2006
Nº de Hojas: 96
ISBN : 84-96566-18-8
Editorial: Nivola
Año de Publicación: 2006
Nº de Hojas: 96
ISBN : 84-96566-18-8
Al comenzar el prólogo con el consabido Érase una vez, unido a las ilustraciones de la portada, la dedicatoria del primer cuento (A mis alumnos de Huelva), la leyenda de la contraportada (a partir de 11 años), y la finústica anchura de su lomo, parecería razonable pensar que nos encontramos ante unos relatos para niños. Ciertamente éstos parecen los destinatarios prioritarios, pero no los únicos. Me explicaré.Hace unos meses, un programa radiofónico dominical entrevistaba a dos maestras/pedagogas, madre e hija, a propósito del merecido reconocimiento que la primera de ellas recibió recientemente a su labor educativa. La presentadora del programa trató de ser original y comenzó la charla con unas preguntas elementales de cultura general extraídas del poema, Los Profesores, del chileno Nicanor Parra. Me chocaron (y chirriaron) respuestas como "No sé" a la pregunta "¿Hay arañas en la Luna?" (prometo que pensé que estaban bromeando) o "¡Que preguntas más raras. Parecen más de ciencia ficción" a "¿Por qué la Luna no cae sobre la Tierra?". Alucinante (me refiero a las respuestas). Por supuesto supieron quien escribió Madame Bovary (yo también lo sabía). Traigo a colación este n-ésimo ejemplo de mínima cultura científica para explicar porqué un libro como Cuentos del Cero (recuerdo de nuevo, en principio para lectores a partir de 11 años) es totalmente necesario y recomendable para cualquiera, incluso para doctos y reconocidos intelectuales. Sin embargo, a la reducida minoría que también nos gusta el ensayo científico, particularmente el matemático, seguramente nos deje un tanto desilusionados, no por nada negativo, sino más bien por proponer asuntos de sobra conocidos, de hecho podemos decir que el libro es en realidad una recopilación novelada por el autor. Hagamos un sintético repaso por los nueve cuentos. En Yo soy el cero, cuento que da título al libro, se recuerda cómo se hizo necesaria la aparición del odiado dígito (odiado dependiendo de su ubicación) junto a otros apuntes relacionados, entresacados de la historia de las matemáticas. Le siguen tres relatos protagonizados por Sineta, una supuesta hija de Atenea, que nos ayudará a recordar o a enseñarnos, según los casos, unos cuantos apuntes de mitología griega que nunca vienen mal (y más ahora que parece que sólo interesan las seudo-mitologías Tolkinianas o Nárnicas). En la primera, Sineta y la hidra, la heroína debe resolver un enigma en verso so pena de ser devorada por la hidra. Muy versada en geometría no está, la verdad, pero para eso están las madres que en sueños la “sopla” la solución. Luego la joven plantea otro acertijo a su antagonista, esta vez sin solución, con el que entretenerse por los siglos de los siglos. Tampoco la cabeza inteligente de la hidra sabía demasiadas matemáticas, aunque el lector seguro que en seguida se percata del porqué de la irresolubilidad del planteamiento. Este cuento apareció publicado en el boletín num. 20 de la revista de la organización para la coeducación Ada Byron en 1999. En ¡Tenía que hacerlo! , Sineta se encuentra con el mítico Pitágoras, con un dilema moral provocado por su famoso teorema: los dioses están muy enfadados por haber puesto a disposición de todos el secreto de la existencia de los irracionales. De este modo el autor trata de explicar la convulsión histórica que provocó su descubrimiento. Entremedias nos recuerda qué es el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Finalmente, en El rescate, Sineta ayuda a Orfeo a reencontrarse con su fallecida esposa gracias a la conocida estrategia lógica de razonamiento en la que hay que adivinar el color del gorro (aquí son manzanas de oro o plata) que tenemos en la cabeza viendo el que tienen los demás. A continuación vienen los, desde mi subjetivo punto de vista, dos mejores cuentos, El triángulo soy yo y Hola, soy la esfera, la superficie y el volumen más destacados. Un triángulo se presenta a un niño recordándole que lo ha visto desde que era un bebé para a continuación tratar de justificar su omnipresencia en los libros de texto: hace un poco de historia, simbología, anecdotario, etc., para pasar a las matemáticas propiamente dichas. Le explica que tesela el plano, le recuerda el teorema de Pitágoras, reivindica la fórmula de Herón (un tanto abandonada hoy de los currículos) por su utilidad, le ilustra algunas aplicaciones (triangulación de superficies para el cálculo de áreas y utilización en ingeniería para estabilizar torres de luz eléctrica). De un modo análogo, la esfera se dirige directamente al lector para mostrar lo poco que se la conoce y todo lo que encierra. Esencialmente nos acerca a la geometría esférica y sus propiedades, al quinto postulado de Euclides y las geometrías no euclideas, y su ejemplificación en cuestiones prácticas de trayectos sobre la Tierra. Existe desde al menos 1988 (primera fecha en que lo leí) un Romance entre la derivada y el arco tangente que pulula también por internet; el que aquí se propone es diferente. Nos habla, a propósito del nacimiento de la derivada y de su encuentro con la gráfica del arco tangente, de unas cuantas propiedades de las funciones elementales (crecimiento y decrecimiento, asíntotas, puntos de retroceso, etc.) ante las que el lector debería echar mano del lápiz y el papel y ponerse a garabatear un poco. Dos puntos y ¿un destino? es un diálogo entre dos puntos situados en rectas diferentes que se plantean encontrarse (pura matemática ficción, porque en realidad cada punto es estático ya que está rodeado de infinitos colegas que no pueden saltar por encima de ellos so pena de pasar a otra dimensión), y para ello van recorriendo sus respectivas rectas especulando sobre si la distancia que los separa va siendo menor o mayor. Por el camino se encontrarán un tercer punto con el que sueñan también encontrarse. El último cuento se dedica al Quijote, no en vano el autor ha realizado un completo estudio titulado Cervantes, Don Quijote y las Matemáticas (que puede leerse en http://www.divulgamat.net/weborriak/Homenajes/...) y es coautor del cuadernillo del día escolar de las Matemáticas del 2005 (también disponible en http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/...) además de impulsor de esta excelente iniciativa de celebrar ese día. La aventura en este caso tampoco es original ya que se basa en un clásico problema de reparto justo de acuerdo a unos porcentajes que, por ejemplo, fue propuesto bajo el nombre de Los beduinos en la VIII Olimpiada Castellano-Leonesa de Matemáticas del año 2000 y aparece en La danza de los números con el título Encuentro en el desierto, de Hector Antoñana (ed. Mensajero, 1992). Por cierto, para el que no lo sepa, Nicanor Parra, el autor del poema que citábamos anteriormente, según muchos el mejor poeta (algunos lo definen como anti-poeta) chileno en la actualidad, candidato al Premio Nobel de Literatura en varias ocasiones, estudió matemáticas en la Universidad de Chile, fue profesor de esta disciplina en el Liceo de Chillán y en la Universidad de Chile, estudió Física Nuclear en Estados Unidos y ha dictado cursos de Física en Inglaterra. Ha viajado por medio mundo dando recitales y ofreciendo talleres y charlas. Un buen ejemplo de cultura no selectiva.
Materias
Geometría elemental, Lógica, Historia de las Matemáticas, Cuentos, infantil, juvenil.
El asesinato del profesor de Matemáticas
Libro: El asesinato del profesor de matemáticas 
Autor: Jordi Sierra i Fabra
Editorial: GRUPO ANAYA , S.A.
Año de Publicación: 2004
Nº de Hojas: 169
ISBN : 84-207-1286-8
Autor: Jordi Sierra i Fabra
Editorial: GRUPO ANAYA , S.A.
Año de Publicación: 2004
Nº de Hojas: 169
ISBN : 84-207-1286-8
Jordi Sierra i Fabra
Cartas a una joven matemática
Libro: Cartas a una joven matemática
Autor: Ian Stewart
Editorial: Crítica. Colección Drakontos
Año de Publicación: 2006
Nº de Hojas: 240
ISBN : 84-8432-847-3
Es un libro orientativo para aquellos alumnos y alumnas que se plantean estudiar Matemáticas. Es válido para nuestro país y para cualquier otro, ya que aunque los sistemas educativos difieran entre si, en Matemáticas son mas las similitudes porque se le puede considerar como una actividad internacional. El formato del libro es el más ameno posible: un epistolario. Los capítulos son cartas a Meg, una joven amiga de la familia que en secundaria empieza a plantearse la posibilidad de elegir esta carrera. El autor de las cartas -escritas en primera persona- tiene una buena relación afectiva con la protagonista a la que irá informando y dando consejos sobre los distintos escalones, etapas y características de esta carrera profesional incluyendo el doctorado. Meg acaba convirtiéndose en una buena investigadora y docente matemática. Lees y vas creciendo en conocimientos y madurando con la joven Meg a la que se ve evolucionar disfrutando de la carrera profesional elegida. En realidad la protagonista del libro son las Matemáticas. El libro es imprescindible para cualquier persona interesada en saber qué son las Matemáticas y cómo trabajan quienes a ellas se dedican. Se da una visión desde dentro, amena y completa. Al ser los capítulos independientes -cada uno es una carta sobre un tema diferente- nos da la libertad de elegir el orden o los capítulos que deseamos leer. Pero mi consejo es leerlos todos y en el orden propuesto. Ian Stewart es un entusiasta de las Matemáticas, considera importante su divulgación y tiene el arte de conseguirlo. Sabe comunicar como funcionan las matemáticas para predecir o para abordar soluciones a problemas enormes, sean del tipo que sean. Muestra con una facilidad asombrosa como las matemáticas están en todas partes y son imprescindibles en el mundo de hoy. Además, mezcla anécdotas personales y da buenos consejos para una neófita. Repito, el libro es divertido, ameno, fácil de leer y puede ser una recomendación estupenda para alumnos y alumnas de 2º de bachillerato.
Materias
Lógica, demostración, matemática pura, aplicada, belleza, simetría, pensamiento matemático, filosofía y práctica.
jueves, 29 de enero de 2009
3º E.S.O. Operaciones con polinomios. Ejercicios
En esta dirección se explica cómo se opera con polinomios y ejercicios con soluciones:
http://ponce.inter.edu/cremc/polinomio1....
Y en esta se explica como factorizar:
miércoles, 28 de enero de 2009
martes, 20 de enero de 2009
Suscribirse a:
Entradas (Atom)