4º E.S.O. y 1º CC.NN. Racionalización de denominadores

La cara amable de las matemáticas

La ciencia de las matemáticas es, como asignatura, una de las materias que más se atraganta a los niños. Sin embargo, esta disciplina constituye una de las herramientas más importantes para la vida cotidiana, pese al desconocimiento que existe sobre ella. La mayoría de las cosas se organizan a partir de los números, pero las matemáticas están presentes en más aspectos de lo que se suele pensar, desde la navegación en mar abierto hasta la telefonía móvil o el vuelo de los aviones. Así lo constata el inglés Ian Stewart, director del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick (Reino Unido), en su obra Historia de las Matemáticas (Editorial Crítica), donde repasa los grandes hitos de la historia de esta disciplina.
Los datos manejados por Stewart no dejan lugar a dudas sobre la importancia de un campo de conocimiento dividido en casi un centenar de áreas mayores, subdivididas a su vez en varios miles de especialidades, que ocupa a más de 50.000 matemáticos investigadores en el mundo y sobre el cual se publican más de un millón de páginas nuevas cada año.
Y entonces, ¿a qué se debe su impopularidad? Fundamentalmente, según expone el autor, a que la mayoría de las matemáticas que se enseñan hoy en las escuelas tienen más de 200 años, y esto impide a los ciudadanos conocer sus usos y teorías más modernas y, por tanto, ser conscientes de la importancia de su aplicación a los elementos tecnológicos que emplean a diario.
Las matemáticas trabajan con un sistema numérico creado hace más de 1.500 años (unos 450 si hablamos de los decimales) y que hoy es clave, por ejemplo, para los biólogos empeñados en descifrar la información de la molécula de ADN descubierta en 1956 por James Watson y Francis Crick.
Asimismo, y aunque habrá quien piense que el comercio on-line es un procedimiento relacionado exclusivamente con la informática, en realidad se basa en la teoría de los números, que sirve de fundamento para muchos códigos de seguridad utilizados en Internet. El más conocido de ellos es el criptosistema RSA, que tiene la sorprendente característica de que el método que emplea para encriptar mensajes puede hacerse público sin necesidad de revelar el proceso inverso para desencriptarlo. Pero hay más ejemplos sorprendentes en un viaje por el conocimiento matemático que le quitará el rostro huraño a esta ciencia y la revelará como el amigo invisible de quien dependen muchas de nuestras comodidades diarias.

Arquitectura: puentes colgantes

El cálculo infinitesimal tiene múltiples repercusiones en la vida humana, aunque posiblemente la más destacada de ellas haya sido el descubrimiento de la curva necesaria para que un puente colgante no se desplome, conocida como catenaria. Esta aplicación fue descrita en el año 1691 por Johann Bernoulli, basándose en la mecánica y las leyes de movimiento de Isaac Newton. Bernoulli descartó la hipótesis de que la figura correcta era una parábola –aunque es cierto que los cables de suspensión de los puentes son parabólicos, lo que ocurre porque, además de su peso, soportan el del puente–. Igualmente, este cálculo es básico para trazar la trayectoria de las sondas espaciales, calcular el desplazamiento de vehículos, o incluso estudiar la difusión de epidemias. De hecho muchas de las intervenciones que se ponen en marcha contra estos problemas de salud pública se basan en el cálculo infinitesimal.

Comunicación: telefonía móvil

El teléfono móvil hace un uso esencial de la geometría de espacios multidimensionales, igual que la conexión a Internet, la televisión por satélite o cable y prácticamente cualquier otro aparato tecnológico que envíe o reciba mensajes. La comunicación moderna, en cualquiera de sus modalidades, es digital, con lo que todos los mensajes, incluidos los de voz, se convierten en pautas binarias basadas en los números 0 y 1. Pero las comunicaciones no son útiles si no son fiables: existe la posibilidad de que el mensaje recibido tenga alteraciones respecto al enviado, y el hardware electrónico no puede garantizar la precisión porque las interferencias e incluso un rayo cósmico pueden producir errores. Por ello, los ingenieros usan técnicas matemáticas basadas en los espacios multidimensionales para codificar las señales, de forma que el sistema puede detectar y corregir las imprecisiones.

Soportes: el alma de los CD y DVD

Los campos de Galois del álgebra abstracta forman la base de un sistema de codificación muy empleado en la actualidad en aplicaciones comerciales, fundamentalmente en la grabación de CD y DVD. Al reproducir música en cualquier formato o poner una película en los cines, se utiliza álgebra abstracta basada en los códigos de Reed-Solomon, introducidos en 1960. Se trata de códigos de corrección de errores basados en un polinomio, con coeficientes en un campo finito, construido a partir de los datos a codificar, tales como las señales musicales o de vídeo. Su base de funcionamiento consiste en calcular el polinomio en más de n puntos; si no hay errores, cualquier subconjunto de n datos reconstruirá el mismo polinomio. Por el contrario, si los hay, siempre que su número no sea demasiado grande sigue siendo posible deducir el polinomio y, a partir de él, escuchar la canción o visionar la película deseada.

Navegación: GPS para todos

Los automóviles incluyen ya un sistema de posicionamiento global (GPS), que utiliza la información de 24 satélites. Las señales de radio viajan a la velocidad de la luz (300.000 kilómetros por segundo) y un computador en el automóvil puede calcular la distancia hasta el satélite si conoce cuánto tiempo ha tardado la señal en viajar desde el satélite al automóvil. Este tiempo suele ser de una décima de segundo, pero para contarlo de forma precisa ahora la señal contiene información sobre el tiempo. La navegación también se ha simplificado gracias a este método, puesto que antes dependía de la geometría para la elaboración de las coordenadas. Para hallar la latitud se medía el ángulo del sol por encima del horizonte con un sextante, y la longitud se sabía gracias a un reloj de alta precisión, combinado con la información sobre el amanecer y el ocaso, y los movimientos de los astros.

Diseño: curvas para volar

El análisis numérico desempeña un papel central en el diseño de los aviones modernos. Hasta hace poco, los ingenieros calculaban el flujo del aire en el rozamiento con las alas y el fuselaje en los túneles del viento. Para ello, colocaban un modelo de avión en el túnel, soplaban aire con un sistema de ventiladores y observaban las pautas de comportamiento de la corriente. Ecuaciones como las de Navier-Stokes les proporcionaban ideas teóricas, pero era imposible resolverlas con exactitud para aviones reales por su forma complicada. Los computadores actuales son tan potentes que ahora, en muchos casos, se recurre al túnel del viento numérico, ya que permite resolver con seguridad las precisas ecuaciones de Navier-Stokes. La computación actual permite, además, visualizar y analizar cualquier característica deseada del flujo de aire para prever cualquier comportamiento de la aeronave.

Orientación: los mapas más exactos

La trigonometría es fundamental para el desarrollo de la topografía en escalas, empleada para mediciones que van desde la supervisión de emplazamientos que se están construyendo hasta la determinación de los límites de los continentes. En el mundo real es relativamente fácil medir ángulos con alta precisión, pero hallar con exactitud las distancias es mucho más difícil, especialmente si se trata de un terreno abrupto. Por eso los topógrafos empiezan haciendo una medida cuidadosa de una longitud, a la que denominan la línea de base. Luego forman una red de triángulos y utilizan los ángulos para calcular los lados de estos triángulos. Así puede construirse un mapa preciso de toda el área de interés, empleando el proceso conocido como triangulación. Para comprobar su precisión, es habituar hacer una segunda medida de distancia una vez que la triangulación se ha completado.

Biología: análisis de poblaciones

El análisis matemático se utiliza en biología para estudiar el crecimiento de poblaciones de organismos. Un ejemplo muy claro de ello es el modelo logístico o de Verhulst-Pearl, en donde entran en juego el cambio de la población durante un determinado periodo de tiempo y la capacidad de sustentación, esto es, la máxima población que puede sostener el entorno donde se encuentra. En este modelo, la pauta de crecimiento empieza con un crecimiento exponencial, pero cuando la población alcanza la mitad de la capacidad de sustentación, el incremento de individuos empieza a frenarse y con el tiempo la población se estabiliza. La curva resultante no es totalmente realista, aunque se ajusta bastante bien a muchas posibilidades reales. Con este método también es posible estudiar el consumo humano de recursos naturales, lo que hace posible estimar la demanda futura y cuánto durarán los recursos.

Simetría: el patrón de la piel

Dentro de los diferentes campos de las matemáticas, la teoría de los grupos aparece incluida entre las teorías de formación de pautas, como la de las ecuaciones de reacción-difusión, introducida en 1952 por Alan Turing como una posible explicación de las pautas simétricas de la piel de los animales. Según la teoría, al igual que un sistema de sustancias químicas puede difundirse a través de una región del espacio, las sustancias también pueden reaccionar para producir nuevas sustancias. La hipótesis señala que, si la región es un plano, las ecuaciones son simétricas bajo movimientos rígidos y su solución es un estado uniforme; como ocurre con una piel del mismo color. Pero el estado uniforme puede ser inestable, en cuyo caso la solución será simétrica bajo algunos movimientos rígidos, pero no bajo otros, dando lugar a rupturas de simetría como las franjas o manchas irregulares que ofrece el dibujo de la piel de los animales.

Biomedicina: nuevos fármacos

Uno de los usos más importantes de la teoría de las probabilidades se da en los ensayos clínicos de nuevos medicamentos, que constituyen el procedimiento por el cual se determina su seguridad y efectividad. Cualquier dato obtenido ha de ser sometido a la pregunta de si se trata de una conclusión estadísticamente significativa, esto es, si el medicamento funciona realmente o su efecto beneficioso es la consecuencia de un puro azar. El problema se resuelve utilizando métodos estadísticos conocidos como comprobación de hipótesis, donde se comparan los datos obtenidos en los ensayos con un modelo estadístico y se estima la probabilidad de que el resultado aparezca por azar. Así por ejemplo, si esa probabilidad es menor de 0,01, los investigadores sabrían que están ante un medicamento que ofrece un resultado alejado del azar en 0,99, o, lo que es lo mismo, con un 99% de eficacia.

Espacio: sondas en otros mundos

Podría parecer que el caos no tiene aplicaciones prácticas al ser irregular e impredecible, pero, al basarse en leyes deterministas, resulta útil gracias a estas mismas características. Hacia 1950, John von Newmann sugirió que la inestabilidad del tiempo meteorológico podría ser una ventaja al implicar que un efecto muy deseado puede ser generado por una perturbación muy pequeña. En 1979, Edward Belbruno se dio cuenta de que este principio podía mover naves espaciales en largas distancias con muy poco consumo de combustible, lo que se aplicó a la sonda Hiten en 1990 y otras como la Génesis. Este método de control de sistemas caóticos se emplea para sincronizar bancos de láseres, controlar irregularidades del latido cardiaco con marcapasos inteligentes o monitorizar las ondas eléctricas en el cerebro.

Publicado en Público.es el día 26/12/2008

1º CC.SS. Combinatoria

Pincha en esta dirección y podrás hacer ejercicios de Combinatoria:

http://www.emathematics.net/es/combinatoria.php

1º E.S.O. Números Naturales: operaciones combinadas. Potencias

Si pinchas en esta dirección podrás resolver ejercicios de operaciones combinadas de números naturales:

http://www.ematematicas.net/naturales.php?a=1&op=combinadas

y en esta otra de potencias:

http://www.ematematicas.net/potencia.php?a=1

4º E.S.O. y 1º CC.NN. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En estas direcciones puedes resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

http://www.ematematicas.net/ecexponencial.php?a=4

http://www.ematematicas.net/eclogaritmica.php?a=4

http://www.ematematicas.net/ecexponencial.php?a=5

http://www.ematematicas.net/eclogaritmica.php?a=5

http://www.todomates.com/apuntes/exponenciales_y_logaritmos.pdf

http://www.todomates.com/apuntes/ejercicios_logaritmos.pdf

4º E.S.O. Potencias

Si pinchas en esta dirección podrás realizar ejercicios de potencias:

http://www.ematematicas.net/potencia2.php?a=4

4º E.S.O. y 1º CC.NN. Logaritmos

Si pinchas en esta dirección podrás hacer ejercicios de logaritmos:

http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=4

http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=5

4º E.S.O. y 1º CC.NN. Radicales

Si pinchas aquí puedes realizar ejercicios de racionalización de denominadores:

http://www.ematematicas.net/racionaliza.php?a=4

Si pinchas en esta otra dirección realizarás ejercicios de operaciones con radicales:

http://www.vadenumeros.es/cuarto/operaciones-con-radicales.htm

http://www.ematematicas.net/radicales.php?a=4

http://www.todomates.com/apuntes/radicales.pdf

Grandes mujeres matemáticas de la historia

4º E.S.O. Exámenes

En la siguiente dirección podrás practicar haciendo exámenes de todas las materias de 4º de ESO:

http://www.kalipedia.com/examenes/4-eso/

En esta puedes hacer exámenes de Matemáticas de la opción A:

http://www.kalipedia.com/examenes/4-eso/matematicas-a/

En esta otra tienes las Matemáticas de la opción B:

http://www.kalipedia.com/examenes/4-eso/matematicas-b/

3º E.S.O. Exámenes

En la siguiente dirección podrás practicar haciendo exámenes de todas las materias de 3º de ESO:

http://www.kalipedia.com/examenes/3-eso/

Y en esta otra tienes los exámenes de Matemáticas:

http://www.kalipedia.com/examenes/3-eso/matematicas/

2º E.S.O. Exámenes

En la siguiente dirección podrás practicar haciendo exámenes de todas las materias de 2º de ESO:

http://www.kalipedia.com/examenes/2-eso/

Y en esta otra puedes hacer exámenes de Matemáticas:

http://www.kalipedia.com/examenes/2-eso/matematicas/

1º E.S.O. Exámenes

En la siguiente dirección podrás practicar haciendo exámenes de todas las materias de 1º de ESO:

http://www.kalipedia.com/examenes/1-eso/

Y en esta puedes hacer exámenes de Matemáticas:

http://www.kalipedia.com/examenes/1-eso/matematicas/

Redes: Vida y números

Breve historia de los números

Historia De Los Numeros

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Matemáticas y fotografía

"La matemática es la ciencia del ojo" Gauss

Pincha en la siguiente dirección y luego en cada foto:

http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2000/matefoto/libro/coleccin.htm

Para matemáticos

Para MatemáTicos

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Más sobre fractales

Fractales

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La Geometría de la Naturaleza

En la segunda mitad del siglo pasado, Benoît Mandelbrot convenció al mundo científico de que la geometría euclidiana que usamos desde los tiempos clásicos no servía para describir la naturaleza. Que las montañas no son pirámides, que los árboles no son conos, que las líneas de costa no son rectas. Y propuso el uso de una nueva geometría que describe mejor la complejidad de las formas naturales: la geometría fractal. Las estructuras fractales son autosimilares, lo que quiere decir que las partes se parecen al todo.

Un río es un cauce de agua al que llegan afluentes, y un afluente es un cauce de
agua al que llegan arroyos, y un arroyo es un cauce de agua al que llegan
riachuelos, y un riachuelo es un cauce de agua al que llegan barrancos, y un
barranco es un cauce ocasional de agua al… Se dice por tanto que las estructuras
fractales no varían con la escala a la que se miren. La geometría fractal se
manifiesta en todas los aspectos del paisaje, pero especialmente es aquellos
lugares del planeta que no han sido transformados por la actividad humana.

Armonía Fractal.com

Y recordé el vacío, los átomos, los sistemas planetarios, las galaxias, el universo entero… el vacío…
Y recordé a Goldsworthy y volví a ver Ríos y Mareas…

Ahora fíjense en el trabajo del fotógrafo Héctor Garrido en el Parque Nacional de Doñana desde el aire. La naturaleza es alucinante…a cualquier escala…

Cuentos del cero

Autor: Luis Balbuena
Editorial: Nivola
Año de Publicación: 2006
Nº de Hojas: 96
ISBN : 84-96566-18-8

Al comenzar el prólogo con el consabido Érase una vez, unido a las ilustraciones de la portada, la dedicatoria del primer cuento (A mis alumnos de Huelva), la leyenda de la contraportada (a partir de 11 años), y la finústica anchura de su lomo, parecería razonable pensar que nos encontramos ante unos relatos para niños. Ciertamente éstos parecen los destinatarios prioritarios, pero no los únicos. Me explicaré.Hace unos meses, un programa radiofónico dominical entrevistaba a dos maestras/pedagogas, madre e hija, a propósito del merecido reconocimiento que la primera de ellas recibió recientemente a su labor educativa. La presentadora del programa trató de ser original y comenzó la charla con unas preguntas elementales de cultura general extraídas del poema, Los Profesores, del chileno Nicanor Parra. Me chocaron (y chirriaron) respuestas como "No sé" a la pregunta "¿Hay arañas en la Luna?" (prometo que pensé que estaban bromeando) o "¡Que preguntas más raras. Parecen más de ciencia ficción" a "¿Por qué la Luna no cae sobre la Tierra?". Alucinante (me refiero a las respuestas). Por supuesto supieron quien escribió Madame Bovary (yo también lo sabía). Traigo a colación este n-ésimo ejemplo de mínima cultura científica para explicar porqué un libro como Cuentos del Cero (recuerdo de nuevo, en principio para lectores a partir de 11 años) es totalmente necesario y recomendable para cualquiera, incluso para doctos y reconocidos intelectuales. Sin embargo, a la reducida minoría que también nos gusta el ensayo científico, particularmente el matemático, seguramente nos deje un tanto desilusionados, no por nada negativo, sino más bien por proponer asuntos de sobra conocidos, de hecho podemos decir que el libro es en realidad una recopilación novelada por el autor. Hagamos un sintético repaso por los nueve cuentos. En Yo soy el cero, cuento que da título al libro, se recuerda cómo se hizo necesaria la aparición del odiado dígito (odiado dependiendo de su ubicación) junto a otros apuntes relacionados, entresacados de la historia de las matemáticas. Le siguen tres relatos protagonizados por Sineta, una supuesta hija de Atenea, que nos ayudará a recordar o a enseñarnos, según los casos, unos cuantos apuntes de mitología griega que nunca vienen mal (y más ahora que parece que sólo interesan las seudo-mitologías Tolkinianas o Nárnicas). En la primera, Sineta y la hidra, la heroína debe resolver un enigma en verso so pena de ser devorada por la hidra. Muy versada en geometría no está, la verdad, pero para eso están las madres que en sueños la “sopla” la solución. Luego la joven plantea otro acertijo a su antagonista, esta vez sin solución, con el que entretenerse por los siglos de los siglos. Tampoco la cabeza inteligente de la hidra sabía demasiadas matemáticas, aunque el lector seguro que en seguida se percata del porqué de la irresolubilidad del planteamiento. Este cuento apareció publicado en el boletín num. 20 de la revista de la organización para la coeducación Ada Byron en 1999. En ¡Tenía que hacerlo! , Sineta se encuentra con el mítico Pitágoras, con un dilema moral provocado por su famoso teorema: los dioses están muy enfadados por haber puesto a disposición de todos el secreto de la existencia de los irracionales. De este modo el autor trata de explicar la convulsión histórica que provocó su descubrimiento. Entremedias nos recuerda qué es el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Finalmente, en El rescate, Sineta ayuda a Orfeo a reencontrarse con su fallecida esposa gracias a la conocida estrategia lógica de razonamiento en la que hay que adivinar el color del gorro (aquí son manzanas de oro o plata) que tenemos en la cabeza viendo el que tienen los demás. A continuación vienen los, desde mi subjetivo punto de vista, dos mejores cuentos, El triángulo soy yo y Hola, soy la esfera, la superficie y el volumen más destacados. Un triángulo se presenta a un niño recordándole que lo ha visto desde que era un bebé para a continuación tratar de justificar su omnipresencia en los libros de texto: hace un poco de historia, simbología, anecdotario, etc., para pasar a las matemáticas propiamente dichas. Le explica que tesela el plano, le recuerda el teorema de Pitágoras, reivindica la fórmula de Herón (un tanto abandonada hoy de los currículos) por su utilidad, le ilustra algunas aplicaciones (triangulación de superficies para el cálculo de áreas y utilización en ingeniería para estabilizar torres de luz eléctrica). De un modo análogo, la esfera se dirige directamente al lector para mostrar lo poco que se la conoce y todo lo que encierra. Esencialmente nos acerca a la geometría esférica y sus propiedades, al quinto postulado de Euclides y las geometrías no euclideas, y su ejemplificación en cuestiones prácticas de trayectos sobre la Tierra. Existe desde al menos 1988 (primera fecha en que lo leí) un Romance entre la derivada y el arco tangente que pulula también por internet; el que aquí se propone es diferente. Nos habla, a propósito del nacimiento de la derivada y de su encuentro con la gráfica del arco tangente, de unas cuantas propiedades de las funciones elementales (crecimiento y decrecimiento, asíntotas, puntos de retroceso, etc.) ante las que el lector debería echar mano del lápiz y el papel y ponerse a garabatear un poco. Dos puntos y ¿un destino? es un diálogo entre dos puntos situados en rectas diferentes que se plantean encontrarse (pura matemática ficción, porque en realidad cada punto es estático ya que está rodeado de infinitos colegas que no pueden saltar por encima de ellos so pena de pasar a otra dimensión), y para ello van recorriendo sus respectivas rectas especulando sobre si la distancia que los separa va siendo menor o mayor. Por el camino se encontrarán un tercer punto con el que sueñan también encontrarse. El último cuento se dedica al Quijote, no en vano el autor ha realizado un completo estudio titulado Cervantes, Don Quijote y las Matemáticas (que puede leerse en http://www.divulgamat.net/weborriak/Homenajes/...) y es coautor del cuadernillo del día escolar de las Matemáticas del 2005 (también disponible en http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/...) además de impulsor de esta excelente iniciativa de celebrar ese día. La aventura en este caso tampoco es original ya que se basa en un clásico problema de reparto justo de acuerdo a unos porcentajes que, por ejemplo, fue propuesto bajo el nombre de Los beduinos en la VIII Olimpiada Castellano-Leonesa de Matemáticas del año 2000 y aparece en La danza de los números con el título Encuentro en el desierto, de Hector Antoñana (ed. Mensajero, 1992). Por cierto, para el que no lo sepa, Nicanor Parra, el autor del poema que citábamos anteriormente, según muchos el mejor poeta (algunos lo definen como anti-poeta) chileno en la actualidad, candidato al Premio Nobel de Literatura en varias ocasiones, estudió matemáticas en la Universidad de Chile, fue profesor de esta disciplina en el Liceo de Chillán y en la Universidad de Chile, estudió Física Nuclear en Estados Unidos y ha dictado cursos de Física en Inglaterra. Ha viajado por medio mundo dando recitales y ofreciendo talleres y charlas. Un buen ejemplo de cultura no selectiva.
Materias
Geometría elemental, Lógica, Historia de las Matemáticas, Cuentos, infantil, juvenil.

El asesinato del profesor de Matemáticas

Libro: El asesinato del profesor de matemáticas
Autor: Jordi Sierra i Fabra
Editorial: GRUPO ANAYA , S.A.
Año de Publicación: 2004
Nº de Hojas: 169
ISBN : 84-207-1286-8

Comentario del autor: Con buen humor...De niño —y adolescente, y mayor—, yo también fui un pésimo estudiante de matemáticas. Las odiaba. No las entendía —quería ser escritor, claro—. En cambio me apasionaban los juegos, adivinanzas, acertijos, jeroglíficos. Incluso los hacía yo. Ahora sé que no es tan fiero el león como lo pintan, y que eso de los números es... un juego, como dice el maravilloso —e inventado— profesor de este libro.Tal vez esta historia sirva para poner un poco de paz en los extremos. Un puente entre los profes de mates duros y los alumnos aún más duros de entendederas que no pillan ni una. Tal vez. Sea como sea, es un divertimento, y espero que así haya sido interpretado.No soy ningún genio matemático, así que los problemas de la novela han sido extraídos de los libros Entretenimientos matemáticos de N. Estévanez, publicado en París en 1894, y Matemáticas para divertirse de Martin Gardner. También ha aportado su granito de arena un excelente profe: Sebastián Sánchez Cerón de Alhama de Murcia. El resto es mío, incluida la superpista del capítulo 15 o el jeroglífico del tablón de anuncios.Si dicen que "la letra con sangre entra" —aunque tampoco sea para tanto—, espero que "las matemáticas con buen humor pasen mejor" —que me lo acabo de inventar, pero me parece muy cierto—. Después de todo, 2 y 2 pueden ser 4 ó 22. ¿O no?

Jordi Sierra i Fabra

Cartas a una joven matemática

Libro: Cartas a una joven matemática
Autor: Ian Stewart
Editorial: Crítica. Colección Drakontos
Año de Publicación: 2006
Nº de Hojas: 240
ISBN : 84-8432-847-3

Es un libro orientativo para aquellos alumnos y alumnas que se plantean estudiar Matemáticas. Es válido para nuestro país y para cualquier otro, ya que aunque los sistemas educativos difieran entre si, en Matemáticas son mas las similitudes porque se le puede considerar como una actividad internacional. El formato del libro es el más ameno posible: un epistolario. Los capítulos son cartas a Meg, una joven amiga de la familia que en secundaria empieza a plantearse la posibilidad de elegir esta carrera. El autor de las cartas -escritas en primera persona- tiene una buena relación afectiva con la protagonista a la que irá informando y dando consejos sobre los distintos escalones, etapas y características de esta carrera profesional incluyendo el doctorado. Meg acaba convirtiéndose en una buena investigadora y docente matemática. Lees y vas creciendo en conocimientos y madurando con la joven Meg a la que se ve evolucionar disfrutando de la carrera profesional elegida. En realidad la protagonista del libro son las Matemáticas. El libro es imprescindible para cualquier persona interesada en saber qué son las Matemáticas y cómo trabajan quienes a ellas se dedican. Se da una visión desde dentro, amena y completa. Al ser los capítulos independientes -cada uno es una carta sobre un tema diferente- nos da la libertad de elegir el orden o los capítulos que deseamos leer. Pero mi consejo es leerlos todos y en el orden propuesto. Ian Stewart es un entusiasta de las Matemáticas, considera importante su divulgación y tiene el arte de conseguirlo. Sabe comunicar como funcionan las matemáticas para predecir o para abordar soluciones a problemas enormes, sean del tipo que sean. Muestra con una facilidad asombrosa como las matemáticas están en todas partes y son imprescindibles en el mundo de hoy. Además, mezcla anécdotas personales y da buenos consejos para una neófita. Repito, el libro es divertido, ameno, fácil de leer y puede ser una recomendación estupenda para alumnos y alumnas de 2º de bachillerato.

Materias
Lógica, demostración, matemática pura, aplicada, belleza, simetría, pensamiento matemático, filosofía y práctica.

3º E.S.O. Ecuaciones de Primer Grado con denominadores

1º CC.NN. Límites

3º E.S.O. Ecuación de 2º Grado Completa

3º E.S.O. Ecuaciones de 2º Grado Incompletas

3º E.S.O. Operaciones con polinomios. Ejercicios

En esta dirección se explica cómo se opera con polinomios y ejercicios con soluciones:

http://ponce.inter.edu/cremc/polinomio1....

Y en esta se explica como factorizar:

http://matematicasies.com/spip.php?article1623

3º E.S.O. Factorizar Identidades notables

3º E.S.O. Extraer factor común. Ejemplo 1

3º E.S.O. Extraer factor común. Ejemplo 2

3º E.S.O. Identidades Notables

En esta dirección puedes practicar:

http://www.educared.net/aprende/anavegar4/comunes/premiados/B/1212/polinomios%20identidades%20notables.htm

3º E.S.O. División de polinomios

1º E.S.O. Cálculo de una raíz cuadrada

1º CC.NN. Repaso de la función cuadrática (Parábola)

1º CC.NN. Cálculo de dominios de funciones

El número de oro (áureo) Phi; la divina proporción

¿Quieres saber más acerca del número de oro?http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/naturaleza.html

Teorema de Thales

Nació : alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía)

Falleció : alrededor 560 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía)

Thales era un hombre esencialmente práctico : comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios.
Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.
Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, como asimismo se cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. También se cree que conoció la carrera del sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses de sol y de luna. Finalmente creía que el año tenía 365 días.
A Thales se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental :
1.-Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales
2.-Un circulo es bisectado por algún diámetro
3.-Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales
4.-Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.
5.-Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto
Thales busca el fundamento natural de las cosas y cree, al respecto, que el principio originario, la sustancia primordial de todas las cosas, es el agua. Pensaba así mismo que el agua llenaba todo el espacio. Se imaginaba a la Tierra como un gran disco flotando sobre las aguas, sobre la cual existiría una burbuja hemisférica de aire, nuestra atmósfera sumergida en la masa líquida. La superficie convexa de la burbuja sería nuestro cielo y los astros según expresión de Thales "Navegarían por las aguas de arriba"
Escribió un libro de navegación y se decía que uso la constelación de la Osa Menor que él había definido como una característica importante de la navegación.
Se creé que Thales pudo haber sido el maestro de Anaximandro y que fue el primer filósofo natural de la escuela Milesiana.
Su busto se exhibe en el museo del capitolio en Roma, pero no es el contemporáneo de Thales.

Demostración del Teorema de Pitágoras

Nació : alrededor del 580 AC en Samos, Ionia

Falleció : alrededor del 500 AC en Metapontum, Lucania

Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa. Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad. En la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en la escuelas. Se dice que Pitágoras se casó con una de las alumnas. El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las ideas democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto. Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento lógico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días. La base de su filosofía fue la ciencia de los números, y es así como llegó a atribuirles propiedades físicas a las cantidades y magnitudes. Es así como el número cinco era el símbolo de color; la pirámide, el del fuego; un sólido simbolizaba la tetrada, es decir, los cuatro elementos esenciales: tierra, aire, agua y fuego.

Mujeres Matemáticas

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En Canarias nunca ocurrirá este "Milagro"

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Wiris, una calculadora on-line

Una calculadora muy recomendable, especialmente para secundaria y bachillerato.

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1º E.S.O. Fracciones

Aquí tienes algunos ejercicios sencillos de fracciones y de otros muchos temas del curso. Algunos están incluso resueltos en una pizarra.

http://matematicasies.com/spip.php?rubrique26

Más ejercicios de fracciones:

http://www.ematematicas.net/fracciones.php?a=1

¡A disfrutar de las Matemáticas!

3º E.S.O. Polinomios

En la siguiente dirección puedes resolver más cuestiones de polinomios, así como muchas más del resto del temario del curso. Algunas traen soluciones y otras incluso videos explicativos. Algunos están incluso resueltos en una pizarra.

http://matematicasies.com/spip.php?rubrique7

Más ejercicios de polinomios, fracciones, enteros,...:

http://www.ematematicas.net/polinomios.php?a=3

¡Disfruten mucho!

1º CC.SS. Probabilidad

En la siguiente dirección puedes encontrar ejercicios de probabilidad con soluciones y algún video explicativo.

http://matematicasies.com/spip.php?rubrique35

Aquí puedes practicar combinatoria y en la última, probabilidad:

http://www.ematematicas.net/combinatoria.php

http://personal5.iddeo.es/ztt/index.htm

http://www.acienciasgalilei.com/mat/problemas/ejerc1mat-combinatoria-1.htm

http://www.acienciasgalilei.com/mat/problemas/ejerc1mat-probabilidad-1.htm

1º CC.NN. Trigonometría

En la siguiente dirección puedes obtener vídeos explicativos acerca de cómo resolver cualquier tema de la materia de 1º de Bachillerato. Hay unos 26 vídeos de Trigonometría,pero también del resto del temario.

http://matematicasies.com/spip.php?rubrique80

También puedes practicar en esta página:

http://www.ematematicas.net/trigonometria.php?a=5

¡A disfrutar!

Hipatia, la primera matemática de la historia

Resérvate el derecho a pensar: incluso equivocarse es mucho mejor que no pensar

Hipatia (Matemática alejandrina (370-415))

El nombre de Hipatia significa la más grande. La leyenda de Hipatia de Alejandría nos muestra a una joven, virgen y bella, matemática y filósofa, cuya muerte violenta marca un punto de inflexión entre la cultura del razonamiento griego y el oscurantismo del mundo medieval. Como ocurre con todas las biografías de los matemáticos (y matemáticas) de la antigüedad, se sabe muy poco de su vida, y de su obra se conoce sólo una pequeña parte. Fue recordada como una gran maestra y admirada por la magnitud de sus conocimientos. Era considerada como el mejor matemático vivo del mundo greco-romano. En la época de la Ilustración, Toland y Voltaire, utilizaron su figura como expresión de la irracionalidad del fanatismo religioso, y en el Romanticismo la recrearon como la encarnación del espíritu de Platón y el cuerpo de Afrodita. Pero toda esta notoriedad ha hecho que se pierdan de vista sus logros intelectuales y su auténtica biografía. Enseñó Matemáticas, Astronomía y Filosofía, escribió un trabajo titulado “El Canón Astronómico”, comentó las grandes obras de la matemática griega como la “Aritmética” de Diofanto, “Las Cónicas” de Apolonio, el libro III del “Almagesto” de Tolomeo, probablemente comentara junto a su padre, los “Elementos” de Euclides y el resto del “Almagesto”. Construyó instrumentos científicos como el astrolabio y el hidroscopio. Vivió durante la época del Imperio Romano en Alejandría 1 , aunque por su formación podemos considerar que era griega, por la ubicación de Alejandría, egipcia y por la época, romana 2. El padre de Hipatia, Teón, fue también un ilustre matemático y astrónomo cuya vida está asociada al Museo 3 , del que puede haber sido el último director. Se sabe de él por dos eclipses, uno de Sol y otro de Luna que tuvieron lugar durante el reinado de Teodosio I. De ella se ha dicho: "Hipatia es la primera mujer de ciencia cuya vida está bien documentada". “Aunque la mayoría de sus escritos se han perdido existen numerosas referencias a ellos”. "Fue la última científica pagana del mundo antiguo, y su muerte coincidió con los últimos años del Imperio romano". "Ha llegado a simbolizar el fin de la ciencia antigua" [1] .

¿Las tienes tú?

Un alumno de Bachillerato debe ser o debe tener las siguientes características (en mayor o menor medida) :

· Autónomo
· Responsable
· Coherente
· Capaz de esforzarse
· Organizado
· Creativo
· Realista
· Capaz de comunicar
· Capaz de trabajar en equipo
· Capaz de razonar, opinar, criticar, evaluar y reflexionar
· Tener interés

Para los profes

"Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo" (Benjamin Franklin)

"Me lo contaron y lo olvidé, lo vi y lo entendí, lo hice y lo aprendí" (Confucio)

La Escuela Pitagórica

Normas de Pitágoras:

Este señor creó una Escuela que iba más allá de las Escuelas tradicionales, enseñaban sobre el alma y la energía. El que sepa de la "cadena del destino" , el que vivió en aquélla época y ahora vuelve a ésta con la capacidad del reconocimiento de antaño...reconocerá estas palabras. Decían estos antiguos que, quienes cumplían estas normas, eran capaces de controlar su destino, los únicos...

-Tener rectitud en el propósito
-Tolerancia al opinar
-Inteligencia para discernir
-Clemencia para juzgar
-Ser verídicos en palabras y actos
-Disponer de gracia para expresarse
-Contemplar los acontecimientos con paz en el corazón.

Igualita que nuestra escuela...

¡ Así son muy fáciles las Matemáticas!